Førebuing (Heimearbeid) | Fellesemnet i Matematikk

2.1. Førebuing (Heimearbeid)

Dette kapittelet svarer til avsnitt 1.2 i Adams og Essex.

Problem 2.1 Me slipp ein ball frå høgda $h_{0}$ meter over bakken. Formelen for høgda over bakken etter $t$ sekund er

h (t) = h_{0} - 4.9 t^{2} .

Finn eit uttrykk $v (t)$ for hastigheita etter $t$ sekund.

Problem 2.2 Finn grensa

lim_{x \to 0} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{x^{2}}} =

Med ein datamaskin kan ein prøva seg fram med stadig mindre verdiar av $x$ ( $x \to 0$ ), og dermed estimera grensa. Men der er ein fallgruve…

Problem 2.3 Finn fylgjande grenser

1.

lim_{x \to 0} x^{2}

2.

lim_{x \to 0} \frac{1}{x}

3.

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}

4.

lim_{x \to 1} f (x)

, der

f (x) = \{\begin{matrix} x + 1, x \neq 1, \\ 1, x = 1 . \end{matrix}

\begin{array}{l} f (x) & = \{\begin{matrix} 1, der x > 0, \\ 0, der x = 0, \\ - 1, der x < 0 . \end{matrix} \end{array}

Kva kan me seia om grenseverdien $lim_{x \to 0} f (x)$ ?

Sats 1 La $P (x)$ og $Q (x)$ være to polynom. Då har me fylgjande grenseverdiar:

\begin{align} lim_{x \to a} P (x) & = P (a) & (1) \\ lim_{x \to a} \frac{P (x)}{Q (x)} & = \frac{P (a)}{Q (a)}, dersom Q (a) \neq 0 & (2) \end{align}

Denne satsen fylgjer enkelt frå ei rekkje enkle reglar for grenseverdiar ved addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Me går igjennom heile remsa i føredraget til høgre.

Problem 2.4 Finn $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x}$

Dømet over illustrerer skvissatsen.

Sats 2 (Skvis-satsen) Gå ut frå at $f (x) \leq g (x) \leq h (x)$ for alle $x$ på eit intervall på begge sider av $a$ , bortsett frå akkurat i punktet $x = a$ .

Gå vidare ut frå at $f (x)$ og $h (x)$ har same grenseverdi når $x \to a$ :

lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) = L

Då har me ogso

lim_{x \to a} g (x) = L

Merknad 2 Skvissatsen gjeld òg for kvar av dei einsidige grenseverdiene.