Økt 29. Lineære likningsystem | Fellesemnet i Matematikk

29. Økt 29. Lineære likningsystem

Ei lineær likning definerer eit hyperplan i rommet; med to ukjende definer ho ei line i planet (2D), og med tre ukjende definerer ho eit plan i rommet (3D).

Eit system av likningar definerer fleire slike hyperplan, og løysingsrommet (mengda av alle gyldige løysingar) er punktene der desse hyperplana kryssar (snittet).

Eit lineært likningssystem kan ha anten

1.: éi løysing,
2.: inga løysing, eller
3.: uendeleg mange løysingar.

Problem 29.1 Løys likningsystemet:

\begin{array}{l} x - 2 z & = 3 \\ 2 y + z & = 3 \\ x - 2 y & = 0 \end{array}

Slides

Der er tre grunnleggjande rekkjeoperasjonar på ei matrise:

1.: Byta ei rekkje med summen av seg sjølv og eit multiplum av ei anna rekkje.
2.: Byta om to rekkjer.
3.: Multiplisera alle tala i ei rekkje med ein konstant (ulik null).

Når me bruker desse rekkjeoperasjonane på matrisa som svarer til eit likningssystem (den utvida matrisa/augmented matrix) so får me matrisa til eit likningssystem med same løysingsmengd.

Definisjon 17 (Lay side 29) Ei matrise er på echelon-form dersom:

1.: Alle null-rekkjer er samla nedst i matrisa.
2.: Alle leiande koeffisientar (dvs. koeffisienten ulik null som er lengst til venstre i rekkja) ligg lenger til venstre enn leiande koeffisientar i rekkjene under.
3.: Alle koeffisientar i søylen under ein leiande koeffisient er lik null.

Problem 29.2 Bruk grunnleggjande rekkjeoperasjonar til å få fylgjande matrise på echelon-form:

\begin{array}{l} [\begin{matrix} 0 & 3 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & - 1 & 0 \end{matrix}] \end{array}

Oppgåve 29.1 Bruk grunnleggjande rekkjeoperasjonar til å få fylgjande matrise på echelon-form:

\begin{array}{l} [\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & - 1 & - 1 & - 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 2 & 1 \end{matrix}] \end{array}

Definisjon 18 (Lay side 29) Ei matrise er på redusert echelon-form dersom ho er på echelon-form og i tillegg tilfredsstiller:

1.: Alle leiande koeffisientar er lik éin.
2.: Alle leiande koeffisientar er den einaste koeffisienten ulik null i si søyle.

Problem 29.3 Bruk grunnleggjande rekkjeoperasjonar til å få fylgjande matrise på redusert echelon-form:

\begin{array}{l} [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 20 & - 8 & 2 \end{matrix}] \end{array}

Oppgåve 29.2 Bruk grunnleggjande rekkjeoperasjonar til å få fylgjande matrise på redusert echelon-form:

\begin{array}{l} [\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & - 1 & - 1 & - 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 2 & 1 \end{matrix}] \end{array}

Oppgåve 29.3 Oppgåve 1, 3, (17) i Kapittel 1.1 i Lay.

Oppgåve 29.4 Oppgåve 13 i Kapittel 1.1 i Lay.

Oppgåve 29.5 Oppgåve 1-11 (odde), (13) og (15). i Kapittel 1.2 i Lay.