Fellesemnet i Matematikk

Økt 6. Derivasjon

Kjerneregelen

6.1. Kjerneregelen

Problem 6.1 Sjå på ein kule som fell frå Preikestolen. Høgda i meter over fjprden etter t minutt er

h(t) = 600 4,9[60t]2.

Finn hastigheita etter t minutt i meter per minutt.

Resiprokalregelen seier at

d dx 1 f(x) = f(x) (f(x))2.

Bruk kjerneregelen for å bevisa denne regelen.

Sats 4 Lat f(u) vera ein funksjon som er deriverbar på u = g(x), og g(x) ein funksjon som er deriverbar på x. Da er den samansette funksjonen (f g)(x) deriverbar på x, og

(f g)(x) = f(g(x)) g(x).

Der finst mange bevis for kjerneregelen. Dette beviset er enkelt og intuitivt å forstå, og det gjeld for dei alle fleste funksjonar. Videoen gløymer derimot ein viktig føresetnad. Beviset er berre gyldig dersom g(x + Δx) g(x)0 for alle Δx0 i eit nabolag rundt 0. Jf. WikiPedia og Adam og Essex s. 116.

Beviset i Adams og Essex (side 119f) er vanskelegare å forstå, men det er til gjengjeld gyldig for alle funksjonar.

Video frå Khan Academy

Oppgåve 6.1 Løys oppgåvene 1, 3, 5, 7, 37 frå kapittel 2.4 i Adams og Essex.