Fellesemnet i Matematikk

Økt 5. Optimering

Velkjende derivasjonsreglar

5.1. Velkjende derivasjonsreglar

Mykje av stoffet om derivasjon er kjent frå matematikken i vidaregåande skule, forkurs eller sumarkurs. Videoane nedanfor presenterer reknereglar som skal vera kjende, men det kan henda at dei gjev eit nytt og nyttig perspektiv.

Problem 5.1 Finn den deriverte:

d dxx9 =

Problem 5.2 Lat f(x) og g(x) vera to funksjonar, der me kjenner dei deriverte f(x) og g(x). Lat h(x) = f(x) + g(x) og finn den deriverte h(x).

Oppgåve 5.1 (Differanseregelen for derivasjon) Lat f(x) og g(x) vera to funksjonar, der me kjenner dei deriverte f(x) og g(x). Lat h(x) = f(x) g(x) og finn den deriverte h(x).

Problem 5.3 Lat f(x) vera ein deriverbar funksjonar, og skriv h(x) = c f(x) for ein eller annan konstant c. Finn h(x).

Problem 5.4 Lat f(x) og g(x) vera deriverbare funksjonar, og skriv h(x) = f(x) g(x). Finn h(x).

Oppgåve 5.2 Lat f(x) = 1x. Bruk definisjonen

f(x) = lim Δx0 1 x+Δx 1 x Δx

for å finna f(x).

Oppgåve 5.3 Lat f(x) = 1x. Hugs at 1x = x1 = f(x) og bruk den generelle regelen for potenser (Problem 5.1) for å finna f(x).

Samanlikn svaret med svaret i forrige oppgåve.

Sats 3 (Resiprokalregelen (generell form)) Den deriverte av 1f(x) er gjeven som

d dx 1 f(x) = f(x) (f(x))2

Du finn eit bevis for resiprokalregelen i læreboka. Me skal gje eit anna bevis, basert på kjerneregelen, i neste økt.

Oppgåve 5.4 (Kvotientregelen for derivasjon) Lat f(x) og g(x) vera to funksjonar, der me kjenner dei deriverte f(x) og g(x). Lat

h(x) = f(x) g(x)

og finn den deriverte h(x).

Legg merke til at

h(x) = f(x) 1 g(x).

Du kan dermed bruka produktregelen, der resiprokalregelen gjev det eit uttrykk for

d dx 1 g(x).