Den inverse funksjonen | Fellesemnet i Matematikk

8.1. Den inverse funksjonen

Definisjon 3 Ein polynomfunksjon $P (x)$ har formen

P (x) = \sum_{i = 0}^{n} c_{i} x^{i}

der $c_{i}$ er reelle tal for $i = 0, 1, \dots$ .

Definisjon 4 Ein rasjonal funksjon $R (x)$ har formen

R (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}

der $P$ og $Q$ er polynomfunksjonar.

Definisjon 5 Ein algebraisk funksjon $A (x)$ har formen

A (x) = {(R (x))}^{\frac{n}{m}}

der $R$ er ein rasjonal funksjon, $n$ eit heiltal og $m$ eit naturleg tal ( $1, 2, \dots$ ).

Legg merke til at polynomfunksjonar er rasjonale (lat $Q (x) = 1$ ), og rasjonale funksjonar er algebraiske (lat $n = m = 1$ ).

Algebraiske funksjonar vert oppbygd av ein variabel og endeleg mange aritmetiske operasjonar (plus, minus, gange, dele) og endeleg mange røter. Andre funksjonar er transendentale.

Definisjon 6 Funksjonar som korkje er polynom, rasjonale eller algebraiske vert kalla transendentale funksjonar.

Problem 8.1 Sjå på ein ball som fall få ti meter. Høgda over bakken etter $t$ sekund er gjeve ved

h (t) = 10 - 4, 9 t^{2} .

Kor mange sekund tek det for ballen å falla til $y$ meter over bakken?

Sats 6 Den deriverte til inversen til ein funksjon $f (x)$ er gjeve som

\frac{d}{d y} f^{- 1} (y) = \frac{1}{f^{'} (f^{- 1} (y))}

Oppgåve 8.1 Løys oppgåve 1, 3, 9, 11 (13) og 25 frå kapittel 3.1 i Adams og Essex. I oppgåve 25 gissar du løysinga til $g (x) = 1$ , heller enn å finna $f^{- 1}$ .