Arleg prosentvekst | Matematisk Problemløysing

Eksempeloppgåve 2.16 Sett at me set inn 100 kr. på bankkonto til $5 %$ rente per år. Kva er saldoen etter to år? Kva er saldoen etter fire år?

Løysing 2.5 Det er lett å sjå kva som skjer når me set opp utrekningane år for år i ein tabell. Alle beløpa er i kroner.

År	Saldo	Rente	Ny saldo
1	$100$	$100 \cdot 5 % = 5$	$100 + 5 = 105$
2	$105$	$105 \cdot 5 % = 5,25$	$105 + 5,25 = 110,25$
3	$110,25$	$110,25 \cdot 5 % = 5,5125$	$110,25 + 5,5125 = 115,7625$
4	$115,7625$	$115,7625 \cdot 5 % \approx 5,7881$	$115,7625 + 5,7881 = 121,5506$

Saldoen er altso $110,25$ kroner etter to år og $121,55$ kroner etter fire år.

Merknad 2.4 Kor mange desimaler ein skal ta med avheng av samanhengen. Her har me brukt to desimalar i sluttsvaret som er vanleg for kronebeløp, og to desimalar ekstra i mellomrekningane for å unngå at fleire små avrundingsfeil til saman vert ein stor feil.

Øvingsoppgåve 2.17 Eit par bukser kostar 1000kr. Prisen aukar med $10 %$ per år. Kva er prisen etter to år? Og etter tre år?

Eksempeloppgåve 2.18 (Sparekonto $⋆$ ) Ola har ein sparekonto med 3% rente. Han set inn 1000 kr. ved starten av året. Kva er saldoen etter ...

1.: eitt år?
2.: tre år?
3.: ti år?

Løysing 2.6 (Fyrste forsøk) Det er enkelt og oversiktleg å setja opp ein tabell over renter og saldo på kontoen år for å, t.d. slik:

År	Saldo 1. januar	Rente	Ny saldo
1	1000 kr.	$1000 \cdot 0,03 = 30$ kr.	1030 kr.
2	1030 kr.	$1030 \cdot 0,03 = 30, 90$ kr.	1060,90 kr.
3	$1060,90$ kr.	$1060,90 \cdot 0,03 \approx 31,83$ kr.	1092,73 kr.
4	$1092,73$ kr.	$1092,73 \cdot 0,03 \approx 32,78$ kr.	1125,51 kr.
5	1125,51 kr.	$1125,51 \cdot 0,03 \approx 33,77$ kr.	1159,28 kr.
6	1159,28 kr.	$1159,28 \cdot 0,03 \approx 34,78$ kr.	1194,06 kr.
7	1194,06 kr.	$1194,06 \cdot 0,03 \approx 35,82$ kr.	1229,88 kr.
8	1229,88 kr.	$1229,88 \cdot 0,03 \approx 36,90$ kr.	1266,78 kr.
9	1266,78 kr.	$1266,78 \cdot 0,03 \approx 38,00$ kr.	1304,78 kr.
10	1304,78 kr.	$1304,78 \cdot 0,03 \approx 39,14$ kr.	1343,92 kr.

Dersom ein berre er interessert i nokre få år, er det raskt og enkelt å rekna ut 3% rente og ny saldo for hand. Same tabell kan setjast opp i eit rekneark, for dei som ikkje orkar å rekna for hand.

Løysing 2.7 (Med vekstfaktor) I det fyrste forsøket rekna me ut additiv auke for kvart år. No skal me fokusera på vekstfaktoren i staden. Ny saldo er gjeve som

S = S_{fr} + 3 % \cdot S_{fr} = 1,03 \cdot S_{fr},

og denne formelen gjeld kvart år. Litt omstendeleg kan me setja opp tabellen slik:

År	Saldo 1. januar	Ny saldo
1	1000 kr.	$1000 \cdot 1,03 = 1030,00$ kr.
2	1030 kr.	$1030 \cdot 1,03 = 1060,90$ kr.
3	1060,90 kr.	$1060,90 \cdot 1,03 = 1092,73$ kr.
4	1092,73 kr.	$1092,73 \cdot 1,03 = 1125,50$ kr.
5	1125,51 kr.	$1125,51 \cdot 1,03 = 1159,28$ kr.
6	1159,27 kr.	$1159,28 \cdot 1,03 = 1194,06$ kr.
7	1194,05 kr.	$1194,06 \cdot 1,03 = 1229,88$ kr.
8	1229,87 kr.	$1229,88 \cdot 1,03 = 1266,78$ kr.
9	1266,77 kr.	$1266,78 \cdot 1,03 = 1304,78$ kr.
10	1304,77 kr.	$1304,78 \cdot 1,03 = 1343,92$ kr.

Merknad 2.5 Legg merke til at me kan skriva alle dei ti multiplikasjonane på ei line, slik at saldoen etter ti år er

S = 1000 \cdot 1,03 \cdot 1,03 \cdot 1,03 \cdot 1,03 \cdot 1,03 \cdot 1,03 \cdot 1,03 \cdot 1,03 \cdot 1,03 \cdot 1,03 .

Dette kan me skriva som ein potens, slik at

S = 1000 \cdot {1,03}^{10} .

Øvingsoppgåve 2.19 ( $⋆$ ) Prisindeksen var 1200 for åtte år sidan, og har auka med 2% kvar år sidan det. Kva er prisindeksen i år?

Veke 2. Vekst

Årleg prosentvekst

2.3 Årleg prosentvekst