Matematisk Problemløysing 2020

Veke 2. Vekst

Årleg prosentvekst

2.3 Årleg prosentvekst

Eksempeloppgåve 2.16 Sett at me set inn 100 kr. på bankkonto til 5% rente per år. Kva er saldoen etter to år? Kva er saldoen etter fire år?

Løysing 2.5 Det er lett å sjå kva som skjer når me set opp utrekningane år for år i ein tabell. Alle beløpa er i kroner.

År Saldo Rente Ny saldo
1 100 100 5% = 5 100 + 5 = 105
2 105 105 5% = 5,25 105 + 5,25 = 110,25
3 110,25 110,25 5% = 5,5125 110,25 + 5,5125 = 115,7625
4 115,7625 115,7625 5% 5,7881 115,7625 + 5,7881 = 121,5506

Saldoen er altso 110,25 kroner etter to år og 121,55 kroner etter fire år.

Merknad 2.4 Kor mange desimaler ein skal ta med avheng av samanhengen. Her har me brukt to desimalar i sluttsvaret som er vanleg for kronebeløp, og to desimalar ekstra i mellomrekningane for å unngå at fleire små avrundingsfeil til saman vert ein stor feil.

Øvingsoppgåve 2.17 Eit par bukser kostar 1000kr. Prisen aukar med 10% per år. Kva er prisen etter to år? Og etter tre år?

Eksempeloppgåve 2.18 (Sparekonto) Ola har ein sparekonto med 3% rente. Han set inn 1000 kr. ved starten av året. Kva er saldoen etter ...

1.
eitt år?
2.
tre år?
3.
ti år?

Løysing 2.6 (Fyrste forsøk) Det er enkelt og oversiktleg å setja opp ein tabell over renter og saldo på kontoen år for å, t.d. slik:

År Saldo 1. januar Rente Ny saldo
1 1000 kr. 1000 0,03 = 30 kr. 1030 kr.
2 1030 kr. 1030 0,03 = 30, 90 kr. 1060,90 kr.
3 1060,90 kr. 1060,90 0,03 31,83 kr. 1092,73 kr.
4 1092,73 kr. 1092,73 0,03 32,78 kr. 1125,51 kr.
5 1125,51 kr. 1125,51 0,03 33,77 kr. 1159,28 kr.
6 1159,28 kr. 1159,28 0,03 34,78 kr. 1194,06 kr.
7 1194,06 kr. 1194,06 0,03 35,82 kr. 1229,88 kr.
8 1229,88 kr. 1229,88 0,03 36,90 kr. 1266,78 kr.
9 1266,78 kr. 1266,78 0,03 38,00 kr. 1304,78 kr.
10 1304,78 kr. 1304,78 0,03 39,14 kr. 1343,92 kr.

Dersom ein berre er interessert i nokre få år, er det raskt og enkelt å rekna ut 3% rente og ny saldo for hand. Same tabell kan setjast opp i eit rekneark, for dei som ikkje orkar å rekna for hand.

Løysing 2.7 (Med vekstfaktor) I det fyrste forsøket rekna me ut additiv auke for kvart år. No skal me fokusera på vekstfaktoren i staden. Ny saldo er gjeve som

S = Sfr + 3% Sfr = 1,03 Sfr,

og denne formelen gjeld kvart år. Litt omstendeleg kan me setja opp tabellen slik:

År Saldo 1. januar Ny saldo
1 1000 kr. 1000 1,03 = 1030,00 kr.
2 1030 kr. 1030 1,03 = 1060,90 kr.
3 1060,90 kr. 1060,90 1,03 = 1092,73 kr.
4 1092,73 kr. 1092,73 1,03 = 1125,50 kr.
5 1125,51 kr. 1125,51 1,03 = 1159,28 kr.
6 1159,27 kr. 1159,28 1,03 = 1194,06 kr.
7 1194,05 kr. 1194,06 1,03 = 1229,88 kr.
8 1229,87 kr. 1229,88 1,03 = 1266,78 kr.
9 1266,77 kr. 1266,78 1,03 = 1304,78 kr.
10 1304,77 kr. 1304,78 1,03 = 1343,92 kr.

Merknad 2.5 Legg merke til at me kan skriva alle dei ti multiplikasjonane på ei line, slik at saldoen etter ti år er

S = 1000 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03.

Dette kan me skriva som ein potens, slik at

S = 1000 1,0310.

Øvingsoppgåve 2.19 () Prisindeksen var 1200 for åtte år sidan, og har auka med 2% kvar år sidan det. Kva er prisindeksen i år?