Matematisk Problemløysing

Forord til øvingsheftet

Matematikk er vanskeleg for mange. Ofte framstår matematikken som upraktisk, abstrakt og fjern frå daglegdagse problem og behov. Men det treng ikkje vera slik.

Matematikken har alltid vore motivert frå praktiske og daglegdagse problem. Dei gamle grekarane studerte geometri for å måla opp jordbruksland. Eksponentialfunksjonen finn me i Babylon, der han vert brukt til å rekna med rentesrente. Newton fann opp derivasjon, fordi han trong det for å forklara korleis planetane rører seg.

Det er skulen som har skapt eit feilaktig inntrykk av matematikk hovudsakleg handlar om å løysa abstrakte problem. Skulen belønner dei som liker å løysa abstrakte problem utan bry seg om kvifor. Mange kontekstuelle tenkjarar, som kan resonnera logisk og grundig når problema er konkrete og meiningsfulle, vert straffa. Verda treng nokre abstrakte tenkjarar, for å utvikla ny teori som kanskje ein gong kan verta nyttig. Verda treng svært mange kontekstuelle tenkjarar, som kan løysa praktiske og jordnære problem presist, vha. matematiske metodar.

Sjølv om abstrakt tenking er nyttig i all matematikk, so treng ein ikkje vera ein racer i abstrakt matematikk for å verta dyktig i matematiske metodar. For dei fleste har det overhodet ingen verdi å kunna løysa abstrakte problem, utan som ein del av eit konkrete problem.

Denne boka handlar fyrst og framst om matematisering (eller matematisk modellering), kunsten å ta konkrete, daglegdagse problem, og gje dei ein matematisk form, slik at me kan løysa dei med kjende og generelle matematiske metodar. Problemet må rett nok løysast med abstrakte teknikkar, men dét har ingen verdi om me ikkje også kan føra løysinga tilbake til det konkrete problemet. So langt det er råd, vil me sjå på både konkrete og abstrakte resonnementer, og sjå at dei gjev same resultat.

Dette skal vera ei bok for mange av dei som trur at dei ikkje forstår matematikk. Sjølv om ein alltid har gjort det dårleg i skjøna abstrakte resonnementer eller pugga abstrakte løysingsteknikkar, so er der ingen grunn for at ein ikkje kan forstå dei same resonnementa i ein konkret kontekst.

Om presentasjonen

Boka går ut frå at studentar lærer (1) ved døme (modellæring) og (2) ved å prøva seg på eiga hand (aktiv læring). Innhaldet er difor, i all hovudsak, oppgåver med og utan løysingsforslag. Som regel kjem oppgåvene i par, éi med løysingsforslag (eksempeloppgåve) og éi utan (øvingsoppgåve). Eksempeloppgåva er meint å forklara løysingsmetoden, og øvingsoppgåva er meint som øving.

Nokre nye omgrep og reknereglar vert innført gjennom døma, utan formell definisjon. Somme tider vert dei utdjupa i påfylgjande merknader. Hensikta er at lesaren skal læra seg korleis omgrep og reknereglar vert nytta i praksis, og bruka dei naturleg. Det har ingen verdi å pugga definisjonar. Definisjonane er utelatne for å unngå å freista til misbruk.

Boka er ikkje meint for skumlesing eller som oppslagsbok. Det er viktig å lesa alle døma og løysa oppgåvene etter kvart for å få med seg nye omgrep og idéar. Det handlar like mykje om å koma inn i eit tankesett og verta van med å tenkja matematisk, som om å læra nokre nye omgrep og teknikkar.

Oppgåvene liknar mykje på kvarandre; likevel er nesten alle øvingsoppgåvene forskjellige. Målet har vore å innføre éin og berre éin ny idé i kvar oppgåve. Lesaren bør ta seg tid til å reflektera over oppgåvene og løysingsteknikkane, og samanlikna liknande oppgåver. Få vil klara å pugga løysingsmetodane i alle dei variantane som er brukt. Håpet er at lesaren vil læra seg nokre få kjernemetodar som kan varierast og tilpassast ulike oppgåver. Det krev at ein tenkjer gjennom kvar oppgåveløysing og reflekterer over kva som er nytt og kva som er gjenbrukt.

Der er ingen fasit til øvingsoppgåvene. Fasit har svært ofte ein negativ effekt, og skapar eit einsidig fokus på å finna rett svar, meir eller mindre på måfå. For å ha nytte av matematikken i praksis, er det uunnverleg at ein evnar å vurdera eigne svar kritisk, å overtyda andre om at ein har tenkt rett, og å stola på sine eigne evner. Desse evnene øver ein opp ved å drøfta svar og løysingar med andre, ikkje ved å samanlikna med ein fasit.

Løysingsforslaga er ikkje konsekvente. Liknande oppgåver er somme tider løyst på forskjellig vis. Det er fordi me ikkje ynskjer å skapa nokon illusjon om at der er éin riktig eller beste måte å gjera ting på. Somme tider kan ein få inntrykk av at løysingane i boka er unødig tungvinte. Det kan ha ulike grunnar. Nokre løysingar er skrive for å byggja direkte på idéar frå oppgåvene før. Andre løysingar er skrive for å innføra idéar som generaliserer til vanskelegare problem. Kvar og ein må finna løysingsstrategiar som dei trur på. Der er ingen premie for å velja same løysingsstrategi som forfattaren. Ve den førelesaren som tenkjer slik.

Difor: Dann studiegrupper. Forklar problem og løysingar for kvarandre. Øv på å forklara slik at andre med liknande bakgrunn forstår. Vurder og kritiser svarforslag for kvarandre.

Kjelder

? skriv om åtte ulike matematikkompetansar, der symbol- og formelmanipulasjon berre er éin av dei. ? skriv om matematikkens kulturhistorie, og nemner mange av dei praktiske problema som har inspirert utviklinga i fleire tusen år. Pestalozzi var skulereformator i Sveits rundt 1800, og han peikte mellom anna på at den store avstanden mellom skulekvardagen og heimkvardagen var skulen si store ulukke. Hovudverket finst i ein lettlest, forkorta utgåve på engelsk (?). ? skriv om favoriseringa av digitale tenkjarar i høgare utdanning, der kontekstuelle tenkjarar vert diskriminert.

Den oppgåvedrivne metodikken i boka er inspirert av ? og til dels ?, og vert gjerne kalla ein induktiv undervisningsmetode. Idéen med å bruka eksempel- og øvingsoppgåver i par er formalisert og systematisert av ?.