Matematisk Problemløysing 2020

Den andrederiverte

Vendepunktet

14.3 Vendepunktet

Eksempeloppgåve 14.9 Sjå på funksjonen f(x) = x3 + 3x2. Denne funksjonen har eit lokalt maksimum for x = 2 og lokalt minimum for x = 0. Sjå på kurva på intervallet 2 < x < 0. Kvar er ho brattast?

Løysing 14.5 Lat oss plotta i full fart.

PIC

Kurva er openbert slak nær ekstremalpunkta. Det ser ut som om ho er brattast midt mellom topp- og botnpunktet, altso ved x = 1, men for å vera sikker på at svaret er nøyaktig er det best å bruka algebra.

Målet for bratte er stigningstalet åt tangenten, altso den deriverte:

f(x) = 3x2 + 6x.

Me veit allereie frå oppgåva og plottet at f(2) = f(0) = 0 og at f(0) < 0 for 2 < x < 0, men kvar er f(x) minst (mest negativ)?

For å finna minimumspunktet åt f(x), deriverer me igjen

f(x) = 6x + 6.

Me ser at f(1) = 0. Dette er altso minimumspunktet åt f(x) og det brattaste punktet nedover på f(x). Dette punktet vert òg kalla vendepunktet åt f(x).

Merknad 14.2 (Vendepunkt) I figuren ser me korleis kurva krummar med hulsida ned til venstre for vendepunktet og hulsida opp til høgre for vendepunktet. Den andrederiverte byter forteikn i vendepunktet. Han er negativ til venstre, der f(x) vert mindre og mindre og lagar hulside ned på f(x). Han er positiv til høgre, der f(x) vert større og lagar hulside opp på f(x).

Øvingsoppgåve 14.10 Sjå på funksjonen f(x) = x3 3x2 + 1. Denne funksjonen har eit lokalt maksimum for x = 0 og lokalt minimum for x = 2. Sjå på kurva på intervallet 0 < x < 2. Kvar er ho brattast?

Eksempeloppgåve 14.11 Drøft og skisser funksjonen f(x) = x3 + 6x2 + 3x. Marker vendepunktet med x- og y-verdi.

Løysing 14.6 Me finn den deriverte

f(x) = 3x2 + 12x + 3.

Nullpunkta åt f(x) finn me med formelen for andregradslikningar

x = 12 ±122 4 3 3 2 3 = 2 ±1 6108 = −3,732 −0,268 (99) 

Dette er ekstremalpunkta åt f(x).

Me kan finna vendepunktet ved å setja den andrederivert lik null:

0 = f(x) = 6x + 12.

Me løyser likninga

0 = 6x + 12, (100)  6x = 12, (101)  x = 2. (102) 

Me kan finna funksjonsverdien i dei tre interessante punkta:

f(−3,732) = 20,39 (103)  f(2) = (2)3 3 22 + 1 = 8 12 + 1 = 10 (104)  f(−0,268) = −0,392 (105) 

Då har me fylgjande plott.

PIC

Øvingsoppgåve 14.12 Drøft og skisser funksjonen f(x) = x3 6x2 + 3x. Marker vendepunktet med x- og y-verdi.