Matematisk Problemløysing 2020

Funksjonsdrøfting

Polynom på faktorisert form

13.3 Polynom på faktorisert form

Eksempeloppgåve 13.18 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x3 x2 x 2.

Det er mogleg å visa at funksjonsuttrykket kan faktoriserast, slik at

f(x) = (x2 + x + 1)(x 2)

Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.

Løysing 13.7 Me kan finna nullpunkta ved hjelp av den faktoriserte formen. Me har f(x) = 0 når

0 = x2 + x + 1,eller (84)  0 = x 2. (85) 

Når me set inn i formelen, finn me at den fyrste likninga ikkje har løysingar. Den andre har løysinga x = 2.

For å finna topp- og botnpunkt bruker me den deriverte. Det er enklast å derivera den ufaktoriserte formen.

f(x) = 3x2 2x 1.

Nullpunkt finn me med formelen for andregradslikningar som

x = 2 ±22 4 3 (1) 2 3 = 1 3 ±16 6 = 1 3 ±2 3 = 1 3 1 (86) 

Me skisserer kurva med dei tre punkta som me har funne x-verdien for.

PIC

Merknad 13.3 Merk at me ikkje har rekna ut y-verdiar eller markert nøyaktige talverdiar i skissa i den siste løysinga. I mange av dei tidlegare løysingane har me teke det med, sjølv om oppgåva ikkje har spurt om det. Begge delar er greitt. So lenge figuren ikkje vert overlessa og uleseleg, og ein har med alt ein vert spurd om, so er resten ei smaksak.

Øvingsoppgåve 13.19 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x3 4x2 + 5x 2.

Det er mogleg å visa at dette kan faktoriserast som

f(x) = (x2 2x + 1)(x 2)

Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.