Matematisk Problemløysing 2020

Veke 5–6. Finansmatematikk

Uendeleg kontantstraum

5.8 Uendeleg kontantstraum

Eksempeloppgåve 5.35 Investoren Kristin West vurderer å kjøpa opp gründerbedrifta Knallstraum AS. Knallstraum AS er bygd på ein unik idé, og Kristin reknar med at dei vil tena 20 millionar kroner i året i all framtid. Kva er noverdien til bedrifta når me reknar med 4% diskonteringsrente?

Løysing 5.18 Noverdien til ei bedrift, er verdien av den kontantstraumen (inntektsstraumen) som ho er venta å gje. Det er naturleg å tenkja at den fyrste inntekten kjem om eitt år, slik at noverdien vert

I1 = 20 1,04,

rekna i mNOK.

Heile kontantstraumen vert ein sum med uendeleg mange ledd:

I = 20 1,04 + 20 1,042 + 20 1,043 + 20 1,044 + = j=1 20 1,04j = 20 j=1 1 1,04j,

der tyder uendeleg. Dette er eit godt utgangspunkt for å bruka formelen for ei geometrisk rekkje, men éin ting er feil. Summen startar på j = 1, medan formelen krev at han startar med j = 0. Dette kan me ordna, ved å ta éin faktor til utanfor summen:

I = 20 1 1,04 j=1 1 1,04j1.

No ser me at når me tel frå 1, startar eksponenten j 1 på 0. Set me inn i = j 1, får me

I = 20 1,04 i=0 1 1,04i.

No har me den vande formen, og formelen gjev

I = 20 1,04 1 1,04 1 1 1,04 1 . (33) 

Sjå no på potensen som dukkar opp:

1 1,04

Sidan nemnaren er større en teljaren er brøken mindre enn 1, og når me gongar brøken med seg sjølv vert talet enno mindre. Eksponenten tyder at me gongar brøken med seg sjølv uendeleg mange gongar, og dermed kjem potensen uendeleg nær null.

1 1,04 0

Då får me

I = 20 1,04 1 1 1,04 1 = 20 1 1,04 = 20 0,04 = 20 0,04

Det siste steget tek me på kalkulator og finn I = 500. Mao. bedrifta er verd 500 mNOK.

Øvingsoppgåve 5.36 Karl er ein litt meir pessimistisk investor. Han vurderer òg å by på Knallstraum AS, som i forrige oppgåve. Han er samd i inntektsvurderinga på 20 millionar kroner i året, men han reknar med 3% diskonteringsrente. Kor mykje kan Karl maksimalt tenkja seg å by på bedrifta?

Øvingsoppgåve 5.37 Optimisten Ola trur at Knallstraum AS kjem til å tena 25 millionar kroner i året i all framtid. Han reknar med 3,5% diskonteringsrente. Kor mykje meiner Ola at bedrifta er verd?

Merknad 5.10 Me har brukt litt uortodoks notasjon over, og skriv x der strenge matematikarar ville ha skrive

lim axa.

Denne notasjonen med lim for latin limes (engelsk limit) eller grenseverdi på norsk, er nyttig nok, men her er han unødvendig tungvint. Den uortodokse notasjonen x er mykje lettare å forstå, og sidan han òg er utvetydig er det uproblematisk å ta han i bruk.