Matematisk Problemløysing 2020

Kvadratiske kostnadsfunksjonar

Balanse og overskot: ulikskapen

9.3 Balanse og overskot: ulikskapen

Eksempeloppgåve 9.11 Lat oss tenkja oss ei bedrift med fylgjande kostnadsfunksjon:

K(x) = x2 100 + 100 x 500,

som gjev samla produksjonskostnad når dei produserer x einingar, forutsett at x 10. Bedrifta sel produktet for 200 kroner per eining. Kor mykje må dei produsera for å gå med overskot?

Løysing 9.6 Me må fyrst finna profittfunksjonen. Inntektsfunksjonen er I(x) = 200x, og profittfunksjonen vert då

P(x) = I(x) K(x) = 200x 1 100 x2 + 100 x 500.

Når me løyser opp parentesane, får me

P(x) = 200x 1 100 x2 100 x + 500.

Dei to fyrstegradsledda (200x og 100x) kan me slå saman, og skriva

P(x) = 1 100 x2 + 100 x + 500.

Me skal finna dei x-verdiane som gjev overskot, dvs. P(x) > 0. Dette er ein ulikskap.

Lat oss fyrst finna nullpunkta, P(x) = 0, der bedrifta går i balanse. Me bruker formelen med a = 1100, b = 100 og c = 500.

x = 100 ±1002 4 1 100 500 2 1 100

Dersom me gongar med 50 over og under streken, får me

x = 50 100 ± 50 1002 4 1 100 500.

Med litt hjelp av kalkulator, får me

x = 5000 ± 50 10000 + 20 = 5000 ±5005,0.

Lat oss no skissera funksjonen for å sjå kvar profitten er positiv.

Løysinga av andregradslikninga fortel oss at profittfunksjonen kryssar x-aksen to gongar, for x = 10 005,0 og for x = −5,0. Me kan merka dei to punkta fyrst.

Det neste me skal merka oss er at når x vert svært stor (x ), so veks x2100 mykje raskare enn 100x, og x2100 har negativt forteikn. Difor har me P(x) når x . Det same skjer når x . Me har altso underskot både til venstre for −5,0 og til høgre for 10 005,0.

PIC

Sidan me veit korleis ein parabel ser ut, veit me at P(x) byter forteikn i nullpunkta. Alternativt, om me er i tvil, kan me sjekka ein verdi mellom nullpunkta. Det plar vera lett å sjekka for x = 0; me får P(x = 0) = 500.

No skal me hugsa at kostnadsfunksjonen for bedrifta berre var definert for x 10. Dermed fylgjer det at bedrifta går med overskot for 10 x < 10 005,0.

Øvingsoppgåve 9.12 Lat oss tenkja oss ei bedrift med fylgjande kostnadsfunksjon:

K(x) = x2 240 + 20 x + 200,

som gjev samla produksjonskostnad når dei produserer x einingar. Bedrifta sel produktet for 18 kroner per eining. Kor mykje må dei produsera for å gå med overskot?