Matematisk Problemløysing 2020

Veke 8. Kvadratiske kostnadsfunksjonar

Balanse: den kvadratiske likninga

9.2 Balanse: den kvadratiske likninga

Når ei likning er gjeve som

\begin{align} 0 = a x^{2} + b x + c, & (61) \end{align}

er løysinga gjeve som

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Dersom uttrykket $b^{2} - 4 a c$ er negativt, er rotuttrykket ikkje definert og likninga har inga løysing.

Formen (61) kan me kalla for standardformen for ei andregradslikning.

Rekneregel 9.1: Rekneregel: Løysing av andregradslikning.

Eksempeloppgåve 9.5 Lat oss tenkja oss ei bedrift med fylgjande kostnadsfunksjon:

K (x) = \frac{x^{2}}{100} - x + 50 .

Kostnadsfunksjonen gjev samla produksjonskostnad når dei produserer $x$ einingar, forutsett at $x > 50$ . Bedrifta sel produktet for ei krone per eining. Kor mykje skal dei produsera og selja for å gå akkurat i balanse?

Løysing 9.3 Me har berre fått oppgjeve kostnadsfunksjonen $K (x)$ og ikkje inntektsfunksjonen $I (x)$ . Me har derimot prisen $p = 1$ , so me kan skriva

I (x) = x .

Balansepunktet er gjeve som $K (x) = I (x)$ , eller

\frac{x^{2}}{100} - x + 50 = x .

Dette er ei andregradslikning sidan alle ledda er anten konstante (uavhengige av $x$ ), eller ein konstant gonga med $x$ eller $x^{2}$ . Likninga er derimot ikkje på standardform, og me må rydda opp før me kan bruka formelen (Rekneregel 9.1).

Me trekk frå $x$ på båe sider av likninga og får

\frac{x^{2}}{100} - 2 \cdot x + 50 = 0 .

Me kan òg setja $x^{2}$ utanfor brøken:

\frac{1}{100} \cdot x^{2} - 2 \cdot x + 50 = 0 .

No er det lett å sjå at me har standardformen med $a = 1 ∕ 100$ , $b = - 2$ og $c = 50$ .

Innsetjing gjev

x = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot \frac{1}{100} \cdot 50}}{2 \cdot \frac{1}{100}} .

Me kan rekna ut dei ulike ledda og få

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 2}}{\frac{1}{50}},

eller

x = 100 \pm 50 \cdot \sqrt{2} \approx 100 \pm 70,71,

Dette gjev to nullpunkt, $x \approx 29,3$ og $x \approx 170,7$ , men oppgåva føreset $x > 50$ for at kostnadsfunksjonen skal vera gyldig, so berre den siste løysinga er gyldig.

Bedrifta går i balanse når dei produserer $170,7$ liter.

Øvingsoppgåve 9.6 Lat oss tenkja oss ei bedrift med fylgjande kostnadsfunksjon:

K (x) = - 0,05 x^{2} + 80 \cdot x + 320,

som gjev samla produksjonskostnad når dei produserer $x$ einingar. Bedrifta sel produktet for 80 kroner per eining. Kor mykje skal dei produsera og selja for å gå akkurat i balanse?

Eksempeloppgåve 9.7 Plott inntekts- og kostnadsfunksjonane frå oppgåve 9.5. Finn punktet der drifta går i balanse og samanlikn med løysinga som du fann i oppgåve 9.5.

Løysing 9.4 Det enklaste og tryggaste er å tabulera funksjonsverdiane for nokre verdiar av $x$ . Merk at me ikkje ser på $x < 50$ , sidan kostnadsfunksjonen ikkje er gyldig for små verdiar av $x$ .

$x$	$K (x)$	$I (x)$
50	25	50
100	50	100
200	250	200
300	650	300
400	1250	400

Me finn skjæringspunktet der kostnadene er lik inntekta, ved $x \approx 170$ som stemmer godt med rekninga vår tidlegare.

Øvingsoppgåve 9.8 Plott inntekts- og kostnadsfunksjonane frå oppgåve 9.6. Finn punktet der drifta går i balanse og samanlikn med løysinga som du fann i oppgåve 9.6.

Eksempeloppgåve 9.9 Finn profittfunksjonen $P (x)$ for bedrifra i oppgåve 9.5.

1.: Plott $P (x)$ .
2.: Løys likninga $P (x) = 0$ og markér løysinga i plottet.
3.: Samanlikn med løysingane på oppgåve 9.5 og 9.7. Se særleg på grafane. Kva ser du?

Løysing 9.5 Me har profittfunksjonen

P (x) = I (x) - K (x) = x - (\frac{x^{2}}{100} - x + 50),

som me kan forenkla til

P (x) = - \frac{x^{2}}{100} + 2 x - 50 .

Her er det greitt å fylgja mynsteret frå oppgåve 9.7:

$x$	$K (x)$	$I (x)$	$P (x) = I (x) - K (x)$
50	25	50	$25$
100	50	100	$50$
200	250	200	$- 50$
300	650	300	$- 350$
400	1250	400	$- 850$

Me skal løysa likninga

0 = P (x) = - \frac{x^{2}}{100} + 2 x - 50 .

Det er ofte meste behageleg å ha positiv fyrstegradskoeffisiet, so me gongar med $- 1$ på båe sider og får

0 = \frac{x^{2}}{100} - 2 x + 50,

som allereie har standardformen med $a = 1 ∕ 100$ , $b = - 2$ og $c = 50$ , og formelen gjev

x = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot \frac{1}{100} \cdot 50}}{2 \cdot \frac{1}{100}} .

Me kan rekna ut dei ulike ledda og få

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 2}}{\frac{1}{50}},

eller

x = 100 \pm 50 \cdot \sqrt{2} \approx 100 \pm 70,71,

Dette gjev to nullpunkt, $x \approx 29,3$ og $x \approx 170,7$ , men kostnadsfunksjonen føreset $x > 50$ , so berre den siste løysinga er gyldig.

Ikkje berre finn me det same nullpunktet som i oppgåve 9.5, men me har løyst den eksakt same likninga på standardform. Nullpunktet (krysningspunktet med $x$ -aksen) i plottet ligg på $x \approx 170$ som før.

Øvingsoppgåve 9.10 Finn profittfunksjonen $P (x)$ for bedrifra i oppgåve 9.6.

1.: Plott $P (x)$
2.: Løys likninga $P (x) = 0$ og markér løysinga i plottet.
3.: Samanlikn med løysingane på oppgåve 9.6 og 9.8. Kva ser du?

Merknad 9.3 Løysingane på likninga $P (x)$ kallar me for nullpunkta åt funksjonen $P (x)$ .