Matematisk Problemløysing 2020

Funksjonsdrøfting

Tredjegradsfunksjonar

13.2 Tredjegradsfunksjonar

Eksempeloppgåve 13.7 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x3 + x2 2x.

Marker topp- og botnpunkta.

Løysing 13.3 Éin god start er å finna topp- og botnpunkt. Den deriverte er

f(x) = 3x2 + 2x 2.

Topp- og botnpunkta finn me ved å løysa

0 = 3x2 + 2x 2,

og formelen gjev

x = 2 ±22 4 3 (2) 2 3 = 2 ±4 + 24 6 = 1 3 ±28 6 .

Dette gjev x = 0,549 og x = −1,215. Vidare ser me at f(x) er stor (positiv) for store og små verdiar av x. Dvs. at f(x) aukar fram til −1,215, fell vidare til 0,549, og til slutt stig igjen.

Det er òg lett å sjå at f(0) = 0, so kurva må gå gjennom origo. Det ser slik ut.

PIC

Merk at me ikkje har funne dei to andre nullpunkta nøyaktig. Difor er det berre nullpunktet i origo som me har markert tydleg med ein prikk.

Øvingsoppgåve 13.8 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x3 + x2 + 2.

Marker topp- og botnpunkta.

Øvingsoppgåve 13.9 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x3 + x2 + 2x.

Marker topp- og botnpunkta.

Eksempeloppgåve 13.10 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x3 + x2 2x.

Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.

Løysing 13.4 Me byggjer vidare på skissa frå oppgåve 13.10, der me fann topp- og botnpunkt. No treng me skjæringspunkt med aksane.

Skjæringspunktet med y-aksen er enkelt å finna, som funksjonsverdien ved x = 0. Me skriv

f(0) = 03 + 02 2 0 = 0.

Det er generelt vanskeleg å finna nullpunkta for ein tredjegradsfunksjon, men i dette tilfellet er det enkelt. Der er ikkje noko konstantledd, og dermed kan me dra x utanfor ein parentes:

f(x) = x3 + x2 2x = x(x2 + x 2).

Når f(x) = 0 har med altso anten x = 0, eller

x2 + x 2 = 0.

Andregradslikninga kan me løysa med formel, og me får x = 2 eller x = 1. Totalt har me tre nullpunkt x = 2, 0, 1. Me utvider skissa frå oppgåve 13.10 med ny informasjon.

PIC

Øvingsoppgåve 13.11 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x3 + x2 + 2x.

Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.

Eksempeloppgåve 13.12 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x3 8x2 + 18x.

Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.

Løysing 13.5 Denne funksjonen har òg x i alle ledda, slik at me kan faktorisera enkelt:

f(x) = x (x2 8x + 18).

Me har altso eit nullpunkt i x = 0. Dersom me set parentesen lik null,

0 = x2 8x + 18,

og løyser med formel, får me eit negativt tal under rotteiknet, so dette andregradsuttrykket har ikkje noko nullpunkt. Det einaste skjæringspunktet mellom f(x) og aksane er i origo.

Den deriverte er

f(x) = 3x2 16x + 18.

Nullpunkta (for den deriverte) er gjeve ved formelen som

x = 8 ±10 3 = 1,613 3,721

Tilsvarande y-verdiar er

f(1,613) = 12,42, (82)  f(3,721) = 7,73. (83) 

Me markerer topp- og botnpunkt, samt nullpunktet i origo og teiknar på frihand.

PIC

Øvingsoppgåve 13.13 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = 2x3 + 15x2 32x.

Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.

Øvingsoppgåve 13.14 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x3 x2.

Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.

Eksempeloppgåve 13.15 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x3.

Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.

Løysing 13.6 Dette er ein enkel funksjon. Det er lett å sjå at funksjonen er monotont stigande og går gjennom origo. Me får likevel meir informasjon ved å sjå på den deriverte

f(x) = 3x2.

Den deriverte er 0 akkurat i origo. Kurva åt f(x) er altso fyrst bratt stigande, flatar ut inn mot origo, men tek so til å stiga igjen, brattare og brattare. Plottet ser slik ut:

PIC

Øvingsoppgåve 13.16 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x3 + x.

Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.

Øvingsoppgåve 13.17 Drøft og skissér funksjonen

f(x) = x3 1.

Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.