Polynom pa faktorisert form† | Matematisk Problemløysing

Eksempeloppgåve 12.18 Drøft og skissér funksjonen

f (x) = x^{3} - x^{2} - x - 2 .

Det er mogleg å visa at funksjonsuttrykket kan faktoriserast, slik at

f (x) = (x^{2} + x + 1) (x - 2)

Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.

Løysing 12.7 Me kan finna nullpunkta ved hjelp av den faktoriserte formen. Me har $f (x) = 0$ når

\begin{align} 0 & = x^{2} + x + 1, eller & (86) \\ 0 & = x - 2 . & (87) \end{align}

Når me set inn i formelen, finn me at den fyrste likninga ikkje har løysingar. Den andre har løysinga $x = 2$ .

For å finna topp- og botnpunkt bruker me den deriverte. Det er enklast å derivera den ufaktoriserte formen.

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x - 1 .

Nullpunkt finn me med formelen for andregradslikningar som

\begin{align} x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{16}}{6} = \frac{1}{3} \pm \frac{2}{3} = \{\begin{matrix} - \frac{1}{3} \\ 1 \end{matrix} & (88) \end{align}

Me skisserer kurva med dei tre punkta som me har funne $x$ -verdien for.

Merknad 12.3 Merk at me ikkje har rekna ut $y$ -verdiar eller markert nøyaktige talverdiar i skissa i den siste løysinga. I mange av dei tidlegare løysingane har me teke det med, sjølv om oppgåva ikkje har spurt om det. Begge delar er greitt. So lenge figuren ikkje vert overlessa og uleseleg, og ein har med alt ein vert spurd om, so er resten ei smaksak.

Øvingsoppgåve 12.19 Drøft og skissér funksjonen

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 .

Det er mogleg å visa at dette kan faktoriserast som

f (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)

Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.

Veke 11. Funksjonsdrøfting

Polynom på faktorisert form $†$

12.3 Polynom på faktorisert form $†$

12.3 Polynom på faktorisert form†

12.3 Polynom på faktorisert form $†$