Matematisk Problemløysing 2020

Kostnadsoptimum

Kostnadsoptimum

15.3 Kostnadsoptimum

f(x) = 1 x (109)  f(x) = 1 x2 (110) 
Rekneregel 15.1: Den deriverte av 1x.

Eksempeloppgåve 15.5 Ei bedrift har kostnadsfunksjonen

K(x) = 0,07x2 x + 50.

Finn gjennomsnittskostnaden A(x). Drøft og skisser A(x) og finn kostnadsoptimumet.

Løysing 15.3 Gjennomsnittskostnaden er gjeven som

A(x) = K(x) x = 0,07x 1 + 50 x

Lat oss fyrst analysera dei variable og dei faste kostnadene kvar for seg, slik som me gjorde i oppgåve 15.1. Me skriv

A1(x) = 0,07x 1, (111)  A2(x) = 50 x , (112)  A(x) = A1(x) + A2(x). (113) 

Gjennomsnittet av dei faste kostnadene, A2(x), er den same funksjonen som i oppgåve 15.1. Han er udefinert for x = 0, og A2(x) når x 0+. Når x , får me A2(x) 0+.

Gjennomsnittet A1(x) av dei variable kostnadene er denne gongen lineært, men ikkje konstant. Me kan skissera A1(x) og A2(x) som fylgjer.

PIC

Dersom me legg saman A1(x) og A2(x) skulle me få u nokonlunde fylgjande plott.

PIC

Det ser ut som om me har eit botnpunkt, so lat oss studera det litt nærare ved hjelp av den deriverte. Då treng med rekneregel 15.1. Me kan derivera ledd for ledd, so me har

A(x) = 0,07x 1 + 50 1 x (114)  A(x) = 0,07 + 50 1 x2 = 0,07 50 x2 (115) 

Me må løysa likninga

0 = 0,07 50 x2. (116) 

Dette er ikkje ei vanleg andregradslikning, men me kan gonga gjennom med x2 (føresett at x0):

0 x2 = 0,07 x2 50, (117)  50 = 0,07 x2 (118)  50 0,07 = x2 (119)  x = ± 50 0,07 ±26,73 (120) 

Den tilhøyrande y-verdien er

A(26,73) = 2,74 (121) 

Ved hjelp av dette punktet, kan me skissera funksjonen litt meir nøyaktig.

PIC

Den lågaste gjennomsnittskostnaden finn me når me produserer x = 26,73 einingar.

Øvingsoppgåve 15.6 Ei bedrift har kostnadsfunksjonen

K(x) = 0,05x2 + 2x + 100.

Finn gjennomsnittskostnaden A(x). Drøft og skisser A(x) og finn kostnadsoptimumet.

Merknad 15.2 (Rasjonal funksjon) Funksjonar på formen

f(x) = p(x) q(x)

der både p(x) og q(x) er polynom, vert kalla rasjonale funksjonar. Når kostnadsfunksjonen K(x) er eit polynom, vert gjennomsnittskostnaden A(x) = K(x)x ein rasjonal funksjon, sidan x er eit polynom.

Øvingsoppgåve 15.7 Drøft og skisser funksjonen

A(x) = x + 2 + 1 x.

Finn maksimums- og minimumspunkta, og forklar kva som skjer når x 0 og når x ±.

Øvingsoppgåve 15.8 Drøft og skisser funksjonen

A(x) = x + 2 1 x.

Finn maksimums- og minimumspunkta, og forklar kva som skjer når x 0 og når x ±.