Matematisk Problemløysing 2020

Veke 9. Grensekostnad

Den deriverte som ein funksjon

10.2 Den deriverte som ein funksjon

I forrige avsnitt vart me kjende med den deriverte, stigningstalet på ei kurve som ikkje treng vera rak, i eit bestemt punkt. På ei krum kurve varierer stigningstal langs kurva. Når f(x) er ein funksjon, skriv me gjerne f(x) for stigningstalet. Sidan stigningstalet varierer med x, er òg f(x) ein funksjon.

Merknad 10.10 Den deriverte f(x) kan me tenkja på som stigningstalet åt f(x), eller, for å vera pirkut, som stigningstalet åt ein tangent til kurva åt f(x) i punktet x.

Dersom f(x) er ein kostnadsfunksjon, kallar me f(x) for grensekostnaden.

Eksempeloppgåve 10.7 Lat oss sjå vidare på grensekostnaden for bedrifta i forrige avsnitt. Kostnadsfunksjonen var

K(x) = x2 x + 2.

Me skriv K(x) for stigningstalet (grensekostnaden) åt K(x).

Bruk plottet som du har av K(x), og estimer stigningstalet K(x) på augemål, for x = 1, 2, 3, 4.

Løysing 10.4

PIC

Tangenten for x = 1 (raud til venstre) ser ut til å stiga ei halv rute, eller 1,25, x går frå 0 til 1. Det gjev eit stiningstal på litt meir enn 1.

Tangenten for x = 2 (grøn) stig cirka ei rute (2,5) når x går frå 2 til 3. Det gjev eit stigningstal på 2,5.

Tangenten for x = 3 (cyan) stig nesten to ruter (5) når x går frå 3 til 4. Det gjev eit stigningstal på mellom 4 og 5.

Tangenten for x = 4 (raud til høgre) ser ut til å stiga knapt tre ruter, eller 7,5, x går frå 3,5 til 4,5. Det gjev eit stiningstal på vel 7.

Øvingsoppgåve 10.8 Sjå på plottet som du har av kostnadsfunksjonen

K(x) = x2 10 + 4x + 1

frå forrige avsnitt. Estimer stigningstalet K(x) på augemål, for x = 1, 2, 3, 4.

Lat f(x) = ax2 + bx + c vera ein kvadratisk funksjon. Då er den deriverte gjeven som

f(x) = a 2 x + b

Rekneregel 10.1: Rekneregel: Derivasjon av kvadratisk funksjon.

Eksempeloppgåve 10.9 Me har

K(x) = x2 x + 2.

Finn eit uttrykk for grensekostnaden K(x) ved hjelp av formelen i rekneregel 15.2. Rekn ut K(x) for x = 1, 2, 3, 4 og samanlink med estimata dine frå oppgåve 10.7.

Løysing 10.5 Formelen gjev

K(x) = 2x 1.

Når me set inn, får me

K(1) = 2 1 1 = 1, (68)  K(2) = 2 2 1 = 3, (69)  K(3) = 2 3 1 = 5, (70)  K(4) = 2 4 1 = 7. (71) 

Estimata våre i oppgåve 10.7 ligg stort sett nær dei sanne verdiane som me no har rekna ut. Den største bommen hadde me for x = 2, men me ser òg at kurva var ujamnt teikna rundt dette punktet, so det er ikkje rart at tangenten òg vart litt feil.

Øvingsoppgåve 10.10 Me har

K(x) = x2 10 + 4x + 1

Finn eit uttrykk for grensekostnaden K(x) ved hjelp av formelen i rekneregel 15.2. Rekn ut K(x) for x = 1, 2, 3, 4 og samanlink med estimata dine frå oppgåve 10.8.

Eksempeloppgåve 10.11 Tenk deg at bedrifta, som har kostnadsfuknsjonen

K(x) = x2 x + 2,

produserte x = 4 einingar i fjor. Kva må prisen vera for at det skal løna seg å auka produksjonen i år? (Bruk svara dine frå oppgåve 10.9 som mellomrekning.)

Løysing 10.6 Grensekostnaden gjev kostnadsauka for ei lita (marginal) auke i produksjonen. For å tena pengar, må prisen dekkja denne kostnaden. Me fann K(4) = 7, og me treng difor ein pris større enn sju.

Øvingsoppgåve 10.12 Tenk deg at bedrifta, som har kostnadsfuknsjonen

K(x) = x2 10 + 4x + 1

produserte x = 4 einingar i fjor. Kva må prisen vera for at det skal løna seg å auka produksjonen i år? (Bruk svara dine frå oppgåve 10.10 som mellomrekning.)