Matematisk Problemløysing 2020

Kvadratiske kostnadsfunksjonar

Om å skyta med kanon

9.4 Om å skyta med kanon

Eksempeloppgåve 9.13 Ein kanon skyt ut kula i ein fart av 495 m/s i 45 vinkel over flat mark. Dette gjev ein fart på 350 m/s i høgderetninga (kula stig med 350 meter i sekundet). Kanonmunninga er to meter over bakken. Fysikarane har vist at høgda i meter over bakken etter t sekund kan skrivast som

h(t) = 2 + 350 t 1 2 9,81 t2.

Kor lang tid går der før kanonkula treff bakken?

Løysing 9.7 Her er det mykje fysikk og detaljar som me ikkje treng. Det einaste me treng er uttrykket h(t) for avstanden mellom kula og bakken etter t sekund. Me skal finda tidspunktet t når kula treff bakken, dvs. når h(t) = 0. Mao. løyser me likninga

0 = 2 + 350 t 1 2 9,81 t2.

Me kan løysa med formelen, men for å vera sikker på at me bruker han rett, skal me reinskriva likninga slik at koeffisientane a, b og c kjem i rett orden

0 = 4,905 t2 + 350 t + 2.

Då har me a = −4,905, b = 350 og c = 2 og set inn i formelen:

t = 350 ±(350)2 4 (−4,905 ) 2 2 (4,905 .

Når me gongar ut dei ulike ledda, får me

t = 350 ±122 539,24 9,81 = 350 ±350,056 9,81 .

Her ser me to løysingar. Den negative løysinga t = −0,056(9,81) er meiningslaus, sidan det er før skotet vart avfyrt. Berre den positive løysinga gjev meining:

t = 700,056 9,81 71,36.

Det tek altso 71,4 sekund før kanonkula treff bakken.

Øvingsoppgåve 9.14 Jonas står på toppen av Eiffeltårnet og kastar stein, 300 meter over bakken. Han kastar rett ut slik at utgangsfarten er 30 m/s nøyaktig horisontalt. Høgda h(t) over bakken er gjeve som funksjonen

h(t) = 300 1 2 9,81 t2,

der t er tida frå kastet i sekund. Kor lang tid går før steinen treff bakken?

Eksempeloppgåve 9.15 Lat oss sjå igjen på kanonkula frå oppgåve 9.13. Kula vart skoten i 45 vinkel med utgangshastighet 495 m/s. Dette gjev ein fart på 350 m/s i høgderetninga og likeeins 350 m/s horisontalt. Sjå bort frå luftmotstand, slik at hastigheita langs bakken er konstant (inntil kula treff). Kanonmunninga er to meter over bakken. Kor langt frå kanonen treff kula bakken (i meter)?

Løysing 9.8 Me fann ut i oppgåve 9.13 at kula er i lufta i 71,4 sekund. Hastigheita langs bakken er 350 m/s gjennom heile flukta. Den vertikale hastigheita er uvesentleg for rørsla langs bakken. Gangar me tid med hastigheit får me avstand som fylgjer:

71,4s 350m/s = 71,4 350m = 24 990,0m.

Kula går altso 24 990 meter før ho landar.

Øvingsoppgåve 9.16 Jonas står på toppen av Eiffeltårnet og kastar stein, 300 meter over bakken. Han kastar rett ut slik at utgangsfarten er 30 m/s nøyaktig horisontalt. Høgda h(t) over bakken er gjeve som funksjonen

h(t) = 300 1 2 9,81 t2,

der t er tida frå kastet i sekund. Kor langt går steinen før han landar, målt frå bakken rett under Jonas? (Bruk løysinga di frå oppgåve 9.14 som mellomrekning.)