Matematisk Problemløysing 2020

Veke 7. Lineær kostnad og inntekt

Variabel pris

8.6 Variabel pris

Eksempeloppgåve 8.35 Me skal atter gå attende til bryggeriet frå oppgåve 8.18, der me fann profittfunksjonen

P(x) = 22 x 10 000 7 x.

Lat oss no tenkja oss at prisen kan variera. Lat oss skriva p for prisen i staden for 7, dvs.

P(x) = p x 10 000 7 x.

Gjeve at bryggeriet går eksakt i balanse, skriv prisen p som dei må krevja for ølet som ein funksjon av volumet x.

Løysing 8.15 Me skal fram til eit uttrykk for p. Føresetnaden om at bryggeriet går eksakt i balanse svarer til likninga P(x) = 0, eller mao.

0 = p x 10 000 7 x.

Denne likninga kan me løysa for p, på vanleg måte, sjølv om x vert ståande att som ein ukjend. Me må flytta over det eine leddet med p, og få

p x = 10 000 + 7 x.

No kan me dela med x på båe sider,

p = 10 000 x + 7 x x = 7 + 10 000 x .

Me ser no korleis p avheng av x. For å understreka at dette, kan me skriva p med funksjonsnotasjon som p(x). Prisfunksjonen er altso

p(x) = 7 + 10 000 x ,

når bryggeriet går i balanse.

Øvingsoppgåve 8.36 Lat oss gå tilbake til sandtaket på Mo i oppgåve 8.19. Kostnadsfunksjonen er K(x) = 100 000 + 300x. Inntektsfunksjonen hadde me funne som I(x) = 600 x, men lat oss no tenkja at prisen p er variabel, og ikkje konstant lik 600. Då er inntektsfunksjonen I(x) = p x, og profittfunksjonen P(x) = p x 100 000 300 x. Kva pris må sandtaket krevja for å gå i balanse? Skriv prisen som ein funksjon p(x) av produksjonsvolumet.

Eksempeloppgåve 8.37 I oppgåve 8.35 fann me ein prisfunksjon. I praksis er prisen normalt bestemt av marknaden, og bedrifta må tilpassa produksjonen til prisnivået. Profittfunksjonen er stadig

P(x) = p x 10 000 7 x.

Finn ein produksjonsfunksjon x(p) som seier kor mykje bryggeriet kan produsera for eit gjeve prisnivå p, medan drifta går i balanse.

Løysing 8.16 Utgangspunktet, om balanse i drifta, gjev likninga

0 = p x 10 000 7 x.

I oppgåve 8.35 løyste me for p. No skal me ha eit uttrykk for x, og då må me løysa for x.

Lat oss dra saman alle ledd med x:

0 = (p 7) x 10 000,

og flytta over konstandleddet:

10 000 = (p 7) x.

Når me no deler på p 7, får me eit uttrykk for x:

10 000 p 7 = x.

Produksjonsfunksjonen er altso

x(p) = 10 000 p 7

når bryggeriet går i balanse.

Øvingsoppgåve 8.38 I oppgåve 8.36 fann me ein prisfunksjon. No ynskjer sandtaket å finna ut korleis dei skal tilpassa produksjonen til prisnivået som er sett av marknaden. Dei vil altso finna ein produksjonsfunksjon x(p) som seier kor mykje sand dei skal produsera dersom dei kan selja han for ein pris p. Ta utgangspunkt i profittfunksjonen

P(x) = p x 100 000 300 x

og finn x(p) slik at P(x) = 0.

Eksempeloppgåve 8.39 Ta pris- og produksjonsfunksjonane frå oppgåve 8.35 og 8.37:

p(x) = 7 + 10 000 x , (61)  x(p) = 10 000 p 7 . (62) 

Plott båe funksjonane.

Løysing 8.17 Legg merke til at x og x(p) er produksjonsvolum i liter, medan p og p(x) er pris i liter. Vanlegvis vil me ha funksjonsverdiane x(p) og p(x)y-aksen og argumenta p og xx-aksen. Då kan me ikkje plotta funksjonane i same diagram.

Korkje p(x) eller x(p) er lineære funksjonar, fordi variabelen (hhv. x og p) står under brøkstreken. Då må me rekna ut litt meir enn to punkt for å teikna godt.

p x(p)
0 −1428,57
2 −2000,00
5 −5000,0
6 −10 000,0
8 10 000,0
9 5000,0
10 3333,33
15 1250,00
20 769,23
x p(x)
1 10 007,00
750 20,33
1250 15,00
2500 11,00
5000 9,00
10000 8,00

Me kan plotta punkta og dra ei kurve gjennom dei på frihand.

PIC

Øvingsoppgåve 8.40 Ta pris- og produksjonsfunksjonane som du fann i oppgåve 8.36 og 8.38 og plott dei i eit rutenett.

Merknad 8.7 Me har funne to funksjonar p(x) (oppgåve 8.35) og x(p) (oppgåve 8.37). Dei to er inverse funksjonar. Den eine reknar frå pris til produksjonsvolum, og den andre reknar tilbake.

Merknad 8.8 Dei to funksjonane

p(x) = 22 10 000 x , (63)  x(p) = 10 000 22 p, (64) 

er døme på rasjonale funksjonar. Det ser fordi variabelen (hhv. x og p dukkar opp under brøkstreken).

Kravet til ein rasjonal funksjon er at han kan skrivast som ein brøk med polynom over og under streken. Dette ser me umiddelbart for x(p), medan p(x) kan skrivast om som ein brøk for å tydleggjera det:

p(x) = 22 10 000 x = 22x 10 000 x .