Matematisk Problemløysing 2020

Kostnadsoptimum

Grensekostnaden i optimum

15.4 Grensekostnaden i optimum

Eksempeloppgåve 15.9 Ei bedrift har kostnadsfunksjonen

K(x) = 0,1x2 + x + 20.

Finn kostnadsoptimum. Rekn ut gjennomsnittskostnaden og grensekostnaden i kostnadsoptimum.

Løysing 15.4 Me må starta med gjennomsnittskostnadsfunksjonen

A(x) = 0,1x + 1 + 20 x .

Optimum finn me ved å derivera:

A(x) = 0,1 20 x2.

Når me løyser likninga A(x) = 0, får me

x2 = 200.

Kostnadsoptimumet er altso x = 102 14,1, og A(14,1) 3,8.

Me skisserer funksjonen for å dobbelsjekke at kostnadsoptimumet faktisk er et minimum.

PIC

Me treng òg grensekostnaden

K(x) = 0,2x + 1.

Verdiane i kostnadsoptimum er

K(14,1) = 3,8 (122)  A(14,1) = 3,8 (123) 

Øvingsoppgåve 15.10 Ei bedrift har kostnadsfunksjonen

K(x) = 0,08x2 2x + 100.

Finn kostnadsoptimum. Rekn ut gjennomsnittskostnaden og grensekostnaden i kostnadsoptimum.

Merknad 15.3 I desse oppgåvene var grense- og gjennomsnittskostnadene like i kostnadsoptimum. Når me ser slike «samantreff» lønar det seg å spørsja om det alltid er slik, og evt. kvifor det er slik.

Der finst eit algebraisk argument, men det konseptuelle argumentet er mest interessant.

Lat oss tenkja oss at prisen akkurat dekkjer gjennomsnittskostnaden i optimum og at prisen er konstant. Då går bedrifta akkurat i balanse. Dersom bedrifta endrar produksjonsvolumet frå optimum, so vil gjennomsnittskostnaden auka og bedrifta gå med underskot. Det vil seia at bedrifta ikkje berre står i kostnadsoptimum, men òg i profittoptimum.

I profittoptimum, må grensekostnaden vera lik prisen. Dersom grensekostnaden var høgare enn prisen, ville ein tena meir ved å redusera produksjone, og dersom grensekostnaden var lågare, vore der gevinst i auka produksjon. Difor er grensekostnaden lik prisen, som var lik gjennomsnittskostnaden.

Merknad 15.4 Nokon studentar og nokon bøker bruker regelen A(x) = K(x) for å finna kostnadsoptimum. Det funkar, men ein treng ikkje hugsa denne regelen. Den generelle metoden for å finna optimum ved hjelp av derivasjon (A(x) = 0) fungerer for alle funksjonar, ogso A(x).

Øvingsoppgåve 15.11 Ei bedrift har kostnadsfunksjonen

K(x) = 0,01x2 + 100x + 5.

Skisser funksjonen A(x) for gjennomsnittskostnaden og finn kostnadsoptimum. Samanlikn med forrige oppgåve og drøft kor mykje bedrifta bør produsera.