Matematisk Problemløysing 2020

Kvadratiske kostnadsfunksjonar

Balanse: den kvadratiske likninga

9.2 Balanse: den kvadratiske likninga

Når ei likning er gjeve som

0 = ax2 + bx + c, (65) 

er løysinga gjeve som

x = b ±b2 4ac 2a .

Dersom uttrykket b2 4ac er negativt, er rotuttrykket ikkje definert og likninga har inga løysing.

Formen (65) kan me kalla for standardformen for ei andregradslikning.

Rekneregel 9.1: Rekneregel: Løysing av andregradslikning.

Eksempeloppgåve 9.5 Lat oss tenkja oss ei bedrift med fylgjande kostnadsfunksjon:

K(x) = x2 100 x + 50.

Kostnadsfunksjonen gjev samla produksjonskostnad når dei produserer x einingar, forutsett at x > 50. Bedrifta sel produktet for ei krone per eining. Kor mykje skal dei produsera og selja for å gå akkurat i balanse?

Løysing 9.3 Me har berre fått oppgjeve kostnadsfunksjonen K(x) og ikkje inntektsfunksjonen I(x). Me har derimot prisen p = 1, so me kan skriva

I(x) = x.

Balansepunktet er gjeve som K(x) = I(x), eller

x2 100 x + 50 = x.

Dette er ei andregradslikning sidan alle ledda er anten konstante (uavhengige av x), eller ein konstant gonga med x eller x2. Likninga er derimot ikkje på standardform, og me må rydda opp før me kan bruka formelen (Rekneregel 9.1).

Me trekk frå x på båe sider av likninga og får

x2 100 2 x + 50 = 0.

Me kan òg setja x2 utanfor brøken:

1 100 x2 2 x + 50 = 0.

No er det lett å sjå at me har standardformen med a = 1100, b = 2 og c = 50.

Innsetjing gjev

x = (2) ±(2)2 4 1 100 50 2 1 100 .

Me kan rekna ut dei ulike ledda og få

x = 2 ±4 2 1 50 ,

eller

x = 100 ± 50 2 100 ±70,71,

Dette gjev to nullpunkt, x 29,3 og x 170,7, men oppgåva føreset x > 50 for at kostnadsfunksjonen skal vera gyldig, so berre den siste løysinga er gyldig.

Bedrifta går i balanse når dei produserer 170,7 liter.

Øvingsoppgåve 9.6 Lat oss tenkja oss ei bedrift med fylgjande kostnadsfunksjon:

K(x) = 0,05x2 + 80 x + 320,

som gjev samla produksjonskostnad når dei produserer x einingar. Bedrifta sel produktet for 80 kroner per eining. Kor mykje skal dei produsera og selja for å gå akkurat i balanse?

Eksempeloppgåve 9.7 Plott inntekts- og kostnadsfunksjonane frå oppgåve 9.5. Finn punktet der drifta går i balanse og samanlikn med løysinga som du fann i oppgåve 9.5.

Løysing 9.4 Det enklaste og tryggaste er å tabulera funksjonsverdiane for nokre verdiar av x. Merk at me ikkje ser på x < 50, sidan kostnadsfunksjonen ikkje er gyldig for små verdiar av x.

x K(x) I(x)
50 25 50
100 50 100
200 250 200
300 650 300
400 1250 400
PIC

Me finn skjæringspunktet der kostnadene er lik inntekta, ved x 170 som stemmer godt med rekninga vår tidlegare.

Øvingsoppgåve 9.8 Plott inntekts- og kostnadsfunksjonane frå oppgåve 9.6. Finn punktet der drifta går i balanse og samanlikn med løysinga som du fann i oppgåve 9.6.

Eksempeloppgåve 9.9 Finn profittfunksjonen P(x) for bedrifra i oppgåve 9.5.

1.
Plott P(x).
2.
Løys likninga P(x) = 0 og markér løysinga i plottet.
3.
Samanlikn med løysingane på oppgåve 9.5 og 9.7. Se særleg på grafane. Kva ser du?

Løysing 9.5 Me har profittfunksjonen

P(x) = I(x) K(x) = x x2 100 x + 50,

som me kan forenkla til

P(x) = x2 100 + 2x 50.

Her er det greitt å fylgja mynsteret frå oppgåve 9.7:

x K(x) I(x) P(x) = I(x) K(x)
50 25 50 25
100 50 100 50
200 250 200 50
300 650 300 350
400 1250 400 850
PIC

Me skal løysa likninga

0 = P(x) = x2 100 + 2x 50.

Det er ofte meste behageleg å ha positiv fyrstegradskoeffisiet, so me gongar med 1 på båe sider og får

0 = x2 100 2x + 50,

som allereie har standardformen med a = 1100, b = 2 og c = 50, og formelen gjev

x = (2) ±(2)2 4 1 100 50 2 1 100 .

Me kan rekna ut dei ulike ledda og få

x = 2 ±4 2 1 50 ,

eller

x = 100 ± 50 2 100 ±70,71,

Dette gjev to nullpunkt, x 29,3 og x 170,7, men kostnadsfunksjonen føreset x > 50, so berre den siste løysinga er gyldig.

Ikkje berre finn me det same nullpunktet som i oppgåve 9.5, men me har løyst den eksakt same likninga på standardform. Nullpunktet (krysningspunktet med x-aksen) i plottet ligg på x 170 som før.

Øvingsoppgåve 9.10 Finn profittfunksjonen P(x) for bedrifra i oppgåve 9.6.

1.
Plott P(x)
2.
Løys likninga P(x) = 0 og markér løysinga i plottet.
3.
Samanlikn med løysingane på oppgåve 9.6 og 9.8. Kva ser du?

Merknad 9.3 Løysingane på likninga P(x) kallar me for nullpunkta åt funksjonen P(x).