Matematisk Problemløysing 2020

Den andrederiverte

Den deriverte av høgare orden

14.1 Den deriverte av høgare orden

Eksempeloppgåve 14.1 Me har funksjonen f(x) med den deriverte:

f(x) = x3 2x2 + 2x 4, (87)  f(x) = 3x2 4x + 2. (88) 

Drøft og skissér f(x).

Løysing 14.1 Legg merke til at f(x) er ein funksjon. Drøfting av f(x) vert det same som drøfting av einkvan annan andregradsfunksjon. Dvs. at me kan derivera han, slik

f(x) = 6x 4. (89) 

Me har f(x) = 0 for x = 23, og f(x) byter forteikn. Difor har f(x) eit ekstremalpunkt for x = 23.

Nullpunkta åt f(x) finn me med formel, som fylgjer

x = 4 ±16 24 6 (90) 

Her er inga løysing, so f(x) har ingen nullpunkt.

Me kan teikna forteiknsdiagram for f(x) og f(x). Forteikna for f(x) viser at f(x) fyrst fell og so stig. Dette kan me bruka som utgangspunkt for å skissera f(x) som vanleg i koordinatsystemet.

PIC

Øvingsoppgåve 14.2 Me har funksjonen f(x) med den deriverte:

f(x) = x3 + x2 + 2, (91)  f(x) = 3x2 + 2x. (92) 

Drøft og skissér f(x).

Merknad 14.1 Over har me funne den deriverte av den deriverte til ein funksjon f(x). Funksjonen f(x) kallar me gjerne for den andrederiverte, eller den dobbelderiverte, av f(x).

Eksempeloppgåve 14.3 Me har funksjonen f(x) med den deriverte:

f(x) = x4 x3 x2 1, (93)  f(x) = 4x3 3x2 2x. (94) 

Drøft og skissér f(x).

Løysing 14.2 Me drøftar f(x) som einkvan annan tredjegradsfunksjon. Derivasjon gjev

f(x) = 12x2 6x 2. (95) 

Nullpunkt for f(x) er

x = 6 ±36 4 12 (2) 2 12 = 6 ±36 + 96 24 = 1 4 ±132 24 = 0,7287 −0,2287 (96) 

Sidan andregradsleddet er positivt, har andregradsfunksjonen botnen ned. Då kan me teikna forteiknsdiagram, og skissera f(x) basert på det.

PIC

Me har markert nullpunkt i origo, sidan det er lett å sjå at alle ledda i f(x) er delelege med x. Dei andre nullpunkta har me ikkje rekna ut.

Øvingsoppgåve 14.4 Me har funksjonen f(x) med den deriverte:

f(x) = x4 + 2x3 x2, (97)  f(x) = 4x3 + 6x2 2x. (98) 

Drøft og skissér f(x).