Matematisk Problemløysing 2020

Veke 4. Logaritmar

Gjennomsnittleg vekst

4.3 Gjennomsnittleg vekst

År	Inflasjon
1984	6,4%
1983	8,5%
1982	11,4%
1981	13,4%
1980	11,0%
1979	4,6%
1978	8,1%
1977	9,2%

Tabell 1: Inflasjon over ein kort historisk periode i Noreg. Kjelde Smarte Penger.

Eksempeloppgåve 4.13 Kor mykje auka prisane i Noreg totalt i fireårsperioden 1981–1984. Prisauka (inflasjonen) for kvart av åra står i tabell 1.

Løysing 4.4 Me tek prosentvis auke for kvart år frå tabellen, og finn vekstfaktorane:

1,134, 1,114, 1,085, 1,064 .

Dersom me skriv $I_{0}$ for prisindeksen (prisnivået) ved inngangen til 1981, vert prisindeksen ved utgangen av 1984

I_{1} = I \cdot 1,134 \cdot 1,114 \cdot 1,085 \cdot 1,064 \approx 1,458 .

Prisene har altso auka med 45,8% over fire år.

Øvingsoppgåve 4.14 Kva er er den samla prosentvise prisauka i Noreg over fireårsperioden 1977–1980? Prisauka (inflasjonen) for kvart av åra står i tabell 1.

Eksempeloppgåve 4.15 Dersom me reknar ut (det aritmetriske) gjennomsnittet av prisaukene for åra 1981–1984, får me

\frac{13,4 % + 11,4 % + 8,5 % + 6,4 %}{4} = 9,925 % .

Kor mykje ville prisane ha auka over fireårsperioden dersom prisauka faktisk hadde vore 9,925% kvart einaste år?

Løysing 4.5 Dersom $I_{0}$ er prisindeksen før perioden, vert prisindeksen etter fire år

I_{1} = I \cdot {1,099 25}^{4} \approx I \cdot 1,460 .

Prisene hadde altso auka med 46,0% over fire år.

Øvingsoppgåve 4.16 Dersom me reknar ut (det aritmetriske) gjennomsnittet av prisaukene for åra 1981–1984, får me

\frac{11,0 % + 4,6 % + 8,1 % + 9,2 %}{4} = 8,225 % .

Kor mykje ville prisane ha auka over fireårsperioden dersom prisauka faktisk hadde vore 8,225% kvart einaste år?

Merknad 4.1 Me er vane med at når me legg saman fire tal, so får me same resultat om me tek gjennomsnittet og gongar med fire. I oppgåvene over ser me at dette ikkje stemmer med prisauker i prosent. Grunnen er at prosentaukene ikkje vert addert. I staden gongar me saman vekstfaktorane. Det gjennomsnittet som me er vane med å rekna med vert ofte kalla aritmetisk gjennomsnitt, og det er nyttig for additive problem.

Når problemet er multiplikativt, treng me geometrisk gjennomsnitt. Det skal me sjå på nedanfor.

Eksempeloppgåve 4.17 Me såg over at prisane auka med 45,8% over fireårsperioden 1981–1984. Tenk deg at inflasjonen var den same alle fire åra. Kor stor må den årlege inflasjonen vera for å gje totalt 45,8% vekst over fire år?

Løysing 4.6 (med logaritmar) Vekstfaktoren over fire år er 1,458. Når inflasjonen er den same kvart år, vert òg vekstfaktoren $v$ den same. Prisindeksen på slutten av perioden er altso $I_{0} \cdot 1,458$ eller $I_{0} \cdot v^{4}$ . Me får altso likninga

1,458 = v^{4},

som me kan løysa ved hjelp av logaritmar:

ln 1,458 = ln v^{4} = 4 \cdot ln v .

Me delar på 4 og får (vha. kalkulator)

ln v = \frac{ln 1,458}{4} \approx 0,094 266 .

For å finna $v$ , må me no bruka eksponentialfunksjonen ( $e^{x}$ eller $exp$ på kalkulatoren):

v \approx exp 0,094 266 \approx 1,0989 .

Inflasjonen er altso 9,89% i gjennomsnitt.

Løysing 4.7 (med eksponentialfunksjon) Vekstfaktoren over fire år er 1,458. Når inflasjonen er den same kvart år, vert òg vekstfaktoren $v$ den same. Prisindeksen på slutten av perioden er altso $I_{0} \cdot 1,458$ eller $I_{0} \cdot v^{4}$ . Me får altso likninga

1,458 = v^{4} .

Her kan me opphøya i $\frac{1}{4}$ på båe sidene:

{1,458}^{\frac{1}{4}} = {(v^{4})}^{\frac{1}{4}} = v^{4 \frac{1}{4}} = v .

Når me reknar ut venstresida, har me

v \approx 1,0989 .

Inflasjonen er altso 9,89% i gjennomsnitt.

Merknad 4.2 Det me har rekna ut i oppgåva over er det geometriske gjennomsnittet av dei årlege inflasjonsratane.

Merknad 4.3 Logaritmefunksjonen $ln$ som me har brukt før, og eksponentialfunksjonen $exp$ er inverse funksjonar. Dvs. at dersom $ln y = x$ , so er $exp x = y$ .

Denne eksponentialfunksjonen er eit særtilfelle av eksponentialfunksjonane som me studerte i kapittel 3. Me kan skriva $exp x = e^{x}$ der talet $e$ er (omtrent) 2,718 281 828 459 045. Akkurat dette talet, og eksponentialfunksjonen $exp$ har mange pene matematiske eigenskaper, men det må me koma tilbake til seinare. Det einaste du treng vita no, er at $ln$ og $exp$ er omvendte funksjonar og kvar du finn dei på kalkulatoren.

Øvingsoppgåve 4.18 Rekn ut gjennomsnittleg årleg inflasjon for perioden 1977–1980. Bruk geometrisk gjennomsnitt.

År	Inflasjon
1924	10,7%
1923	−6,7%
1922	−16,7%
1921	−6,5%
1920	14,9%
1919	6,3%
1918	40,0%

Tabell 2: Inflasjon og deflasjon over ein kort historisk periode i Noreg. Kjelde Smarte Penger.

Eksempeloppgåve 4.19 Me er vane med at prisane berre går opp. Historisk har det likevel hendt at prisane går ned. Det kaller me deflasjon, som rett og slett er inflasjon med negativt forteikn. Tabell 2 viser inflasjonen 1918–1924. Kva er vekstfaktoren for prisindeksen i 1923 og i 1924.

Løysing 4.8 I 1924 har me vekst på $r = 10,7 %$ eller mao. $r = 0,107$ . Vekstfaktoren er $1 + r = 1,107$ .

Tilsvarande i 1923, har me $r = - 6,7 % = 0,067$ og vekstfaktoren er

1 + r = 1 + (- 0,067) = 1 - 0,067 = 0,933 .

Øvingsoppgåve 4.20 Kva er vekstfaktoren for prisindeksen i 1922. Bruk tabell 2.

Øvingsoppgåve 4.21 Kva er vekstfaktoren for prisindeksen i 1918. Bruk tabell 2.

Eksempeloppgåve 4.22 Finn gjennomsnittleg inflasjon i perioden 1922–1924. Bruk grunnlagstala frå tabell 2.

Løysing 4.9 Tala frå tabellen gjev vekstfaktorane 1,107%, 0,933% og 0,833%. Samla vekst er då

1,107 \cdot 0,933 \cdot 0,833 = 0,8603 .

Me skal finna gjennomsnittleg vekstfaktor $v$ slik at tre år med vekst $v$ gjev samla vekst med vekstfaktor $0,8603$ . Med andre ord skal me løysa likninga

0,8603 = v^{3},

eller

ln 0,8603 = 3 ln v .

Dette gjev

ln v = \frac{ln 0,8603}{3} \approx −0,050 158 .

Vekstfaktoren då er

v = exp (−0,050 158) \approx 0,951 .

For å skriva dette som prosentvis vekst, finn med $r = v - 1 = - 0,0489$ . Me har altso ein gjennomsnittleg inflasjon på $- 4,9 %$ per år, eller ein gjennomsnittleg deflasjon på $+ 4,9 %$ per år.

Øvingsoppgåve 4.23 Finn gjennomsnittleg inflasjon i sjuårsperioden 1918–1924. Bruk grunnlagstala frå tabell 2.