Matematisk Problemløysing 2020

Veke 5–6. Finansmatematikk

Noverdi

5.5 Noverdi

Eksempeloppgåve 5.17 Fredrik går av med pensjon, og må velja korleis han vil ha pensjonen utbetalt. Han ynskjer å bruka ein del av saldoen for å få ein årleg utbetaling på 100 000 kr per år i ti år. Ein slik utbetalingsplan vert gjerne kalla ein annuitet, og prisen er gjeve som samanlagd noverdi for alle utbetalingane. Rentenivået er 5%. Han får den fyrste utbetalinga umiddelbart og ti utbetalingar totalt. Kor mykje må han betala for annuiteten?

Løysing 5.11 Noverdien er ein sum av ti utbetalingar, der den siste er diskontert (sjå definisjon 3.3) ni gongar og den fyrste null gongar, dvs.

V = i=09100 000 1 1,05i = 100 000 i=09 1 1,05i.

Rekneregelen gjev

V = 100 000 1 1,0510 1 1 1,05 1 = 100 000 −0,3860 −0,047 619 = 810 782,17.

Han må betala 810 782,17 kr for annuiteten.

Merknad 5.5 Ein slik årleg utbetaling vert ofte kalla ein annuitet (av latin anno for år). Ordet vert brukt i mange samanhengar i finans, der faste, periodiske beløp vert betalt.

Øvingsoppgåve 5.18 Felicia går av med pensjon og skal kjøpa ein annuitet som gjev 100 000 kr per år i tolv år. Rentenivået er 4%. Kor mykje må ho betala for annuiteten når den fyrste utbetalinga kjem umiddelbart?

Øvingsoppgåve 5.19 Sjå annuiteten til Felicia igjen (oppg. 5.18). Ho vil heller at utbetalinga startar om eitt år, og ikkje umiddelbart. Ho skal stadige ha tolv årlege utbetalingar på 100 000 kr kvar, med rentenivå på 4%.

1.
Tenk over før du reknar: Må ho betala meir eller mindre for annuiteten?
2.
Rekn ut kor mykje ho må betala.
3.
Reflektér: Stemmer rekninga med det du tenkte på førehand?

Øvingsoppgåve 5.20 Annanias vil bruka heile pensjonsformuen sin på årlege utbetalingar på 100 000 kroner. Han startar med ein pensjonsformue på 1 000 000 kroner og ein rentesats på 4,8%. I kor mange år kan han få ein utbetaling på 100 000 kroner før formuen er brukt opp?

Løysing 5.12 (Utfylling) Oppgåva seier ikkje om utbetalinga startar umiddelbart eller om eit år, so her står me fritt til å tolka. Løysinga er enklast om utbetalinga startar umiddelbart, so me går ut frå det.

Han skal ha ein annuitet over t år, for so stor t som råd.

1.
Sett opp eit uttrykk for noverdien av annuiteten over t år.
2.
Kor mange år kan ho betala for når han har 1 000 000 kroner å kjøpa for (i noverdi)?
3.
Drøft: skal me runda svaret over opp eller ned?

Øvingsoppgåve 5.21 Elias vil òg bruka heile pensjonsformuen sin på årlege utbetalingar. Han har ein formue på 2 500 000 kroner og ein rentesats på 4,5%. Han vil ha ei årleg utbetaling på 120 000 kroner. I kor mange år har han råd til å få denne annuiteten?

Øvingsoppgåve 5.22 Elias vurderer månadlege utbelingar på 10 000 kroner i staden for årleg utbetaling. Formuen og rentesatsen er elles som i oppgåva over. I kor mange år og månader har han råd til å få denne annuiteten?