Matematisk Problemløysing 2020

Modellering

To nullpunkt

11.1 To nullpunkt

Eksempeloppgåve 11.1 Me er bedne om å foreslå ein profittfunksjon for å modellera økonomien i ei viss bedrift. Me veit at profitten er null for produksjonsnivåa x = 10 og x = 20, og me veit at profitten er positiv når 10 < x < 20. Kva er den enklaste moglege profittfunksjonen som tilfredstiller desse krava?

Løysing 11.1 Lat oss sjå på eit krav åt gongen. Den enklaste funksjonen som tilfredsstiller f1(10) = 0, er ei rett line som kryssar x-aksen for x = 10, altso f1(x) = x 10. Tilsvarande for x = 20 finn me f2(x) = x 20.

Dersom me tek produktet av to funksjonar, t.d.

f3(x) = f1(x) f2(x),

so veit me at f(x) er null når minst éin av faktorane er null. Dvs. at nullpunkta åt f(x) er nullpunkta åt f1(x) og åt f2(x). Funksjonen

f3(x) = f1(x) f2(x) = (x 10) (x 20) = x2 30x + 200,

har altso riktige nullpunkt.

Funksjonen me er på jakt etter skal vera positiv på midten, men f3(x) har eit botnpunkt mellom x = 20 og x = 30. Dersom me snur f3(x) opp/ned, får me ein modell som passar. Me bruker

f(x) = f3(x) = x2 + 30x 200.

Merknad 11.1 Dersom algebraen i oppgåva over er tung å forstå, so løner det seg å skissera funksjonen f3(x) og bruka skissa som hjelp til å vurdera forteikn.

Det var meininga å bruka skisse i løysinga, men det var utegløymt. Orsak.

Øvingsoppgåve 11.2 Du skal modellera økonomien i ei viss bedrift. Du får vita at profitten er null for produksjonsnivåa x = 100 og x = 700. Bedrifta tener penger når 100 < x < 700. Finn den enklaste moglege profittfunksjonen som tilfredstiller desse krava.

Øvingsoppgåve 11.3 Du skal modellera økonomien i ei viss bedrift. Du får vita at profitten er null for produksjonsnivåa x = 50 og x = 150. Bedrifta taper penger når x = 75. Finn den enklaste moglege profittfunksjonen som tilfredstiller desse krava.

Øvingsoppgåve 11.4 Du skal modellera økonomien i ei viss bedrift. Du får vita at profitten er null for produksjonsnivåa x = 125 og x = 175. Bedrifta taper penger når x = 75. Finn den enklaste moglege profittfunksjonen som tilfredstiller desse krava?