Matematisk Problemløysing 2020

Grensekostnad

Om fiskeforvalting

10.5 Om fiskeforvalting

Eksempeloppgåve 10.23 I fiskeforvaltinga søkjer ein å regulera fisket slik at utbytet vert størst mogleg over tid. Matematiske modellar vert brukt for å forklara samanhengen mellom mengd og tilvekst av fisk i havet. Ein slik modell (frå ?) er

g(b) = 0,005 b (100 b),

som gjev tilveksten g(b) (g for growth) for ein gjeven bestand b.

Dersom fiskeuttaket er lik tilveksten, vert bestanden stabil. Finn den bestanden b som gjev høgast tilvekst.

Løysing 10.9 Lat oss byrja med å teikna ei skisse over funksjonen

g(b) = 0,005 b (100 b).

Når ein av faktorane på høgre side er null, må produktet vera null. Dermed har funksjonen nullpunkt for b = 0 og for 100 b = 0 (dvs. for b = 100). Desse nullpunkta markerer me i skissa.

Vidare kan me sjå at når me gongar ut parentesen (100 b), får me eit andregradsledd (b2) med negativt forteikn. Kurva skal difor ha botnen opp.

PIC

Me skal finna toppunktet som er markert i figuren, dvs. punktet der den deriverte g(x) = 0. Dersom me gangar ut parentesen er det lettera å finna den deriverte:

g(b) = 0,5 b 0,005 b2. (78)  g(b) = 0,5 0,01 b. (79) 

Det gjev ei likning

0 = 0,5 0,01 b, (80)  b = 0,5 0,01 = 50. (81) 

Høgast tilvekst får me altso ved ein bestand på 50.

Merknad 10.11 Merk at fordi andregradsfunksjonen er symmetrisk, so må toppunktet 50 liggja midt mellom nullpunkta 0 og 100. Det er kjekt å sjå at dette stemmer me rekninga over.

Me har brukt den omstendelege løysinga med den deriverte for å øva oss til me får andre funksjonar som ikkje er symmetriske.

Øvingsoppgåve 10.24 Sjå på fylgjande vekstmodell,

g(b) = 0,002 b (150 b) 50,

der g(b) er tilveksten for ein gjeven bestand b. Finn den bestanden b som gjev høgast tilvekst.