Matematisk Problemløysing 2020

Veke 2. Vekst

Generelle observasjonar

2.2 Generelle observasjonar

Eksempeloppgåve 2.12 Sett at du set inn eit beløp $x$ på bankkonto og får rente $r$ per år i to år. Er det alltid slik at det totale rentebetalinga er større enn $2 r$ , uansett verdi på $x$ og $r$ ?

Døme 2.1 Før me gjer oppgåva som han står, lat oss sjå på ein variant med konkrete tal.

Sett at du set inn 1000 kr. på bankkonto og får 10% rente per år i to år.

	Saldo inn	Rente	Saldo ut
År 1	1000	$10 % \cdot 1000 = 100$	$1000 + 100 = 1100$
År 2	1100	$10 % \cdot 1100 = 110$	$1100 + 110 = 1210$

Rentene på tusenlappen som du starta på utgjer 10% per år, eller 20% til saman. Det fyrste året har me berre fått den eine hundrelappen som utgjer 10%. Det andre året har me fått 10 kr. ekstra. Kvifor det?

Den ekstra tiaren er rentene på hundrelappen som me fekk året før. Dette utgjer 10% av 10% av 1000 kr. Mao. dei totale rentene me har fått er

2 \cdot 10 % + 10 % \cdot 10 % = 2 \cdot 0,1 + 0,1 \cdot 0,1 = 0,2 + 0,01 = 20 % + 1 % .

Den éine prosenten som me får ekstra kallar me gjerne for rentesrente, dvs. renter på renter.

Når me samanliknar med den opprinnelege oppgåva er $r = 10 % = 0,1$ og $x = 1000$ .

Løysing 2.4 Dette problemet er lett å løysa med algebra. Både sparebeløpet $x$ og rentesatsen $r$ er ukjende, men me kan like fullt skriva $(1 + r)$ for vekstfaktoren, og for saldoen etter to år har me

y = x \cdot {(1 + r)}^{2} .

Kan me skriva potensuttrykket på andre måtar?

Me har

{(1 + r)}^{2} = (1 + r) (1 + r) = 1 + r + r + r^{2} = 1 + 2 r + r^{2} .

Mao.

y = x \cdot (1 + 2 r + r^{2}) .

Den totale vekstfaktoren over to år er altso $1 + 2 r + r^{2}$ . Sidan $r^{2} > 0$ , vert altso den totale renteutbetalinga alltid større enn $2 r$ .

Merknad 2.2 Dersom den algebraiske løysinga er vond å forstå, prøv å samalikna ho med dømet over. Du kan godt skriva om dømet med vekstfaktor slik at det får den same strukturen som den algebraiske løysinga, og like gjerne omvendt, skriva om algbraen som ein tabell etter skjema frå dømet.

Det er heilt normalt at ein må studera døma frå fleire vinklar for å forstå det.

Merknad 2.3 Lat oss sjå litt nærare på saldoen etter to år. Skriv

y = x \cdot (1 + 2 r + r^{2}) = x + x \cdot 2 r + x \cdot r^{2} .

Her har me tre ledd. Det fyrste, $x$ , er den opprinnelege saldoen. Det neste, $x \cdot 2 r$ eller $2 x r$ er rentene for to år. Det siste $x \cdot r^{2}$ vert kalla rentesrenter, dvs. rentene me får andre året på rentene som vart lagt til fyrste året.

Øvingsoppgåve 2.13 Sett at prisen på ein vare går opp med $r$ prosent eit år, og ned $r$ prosent året etter. Kva er den samla endringa over to år, i prosent?

\begin{align} a \cdot (b + c) & = a \cdot b + a \cdot c & (14) \\ (b + c) \cdot a & = b \cdot a + c \cdot a & (15) \\ (a + b) \cdot (c + d) & = a \cdot c + b \cdot c + a \cdot d + b \cdot d & (16) \end{align}

Rekneregel 2.1: Rekneregel: Multiplikasjon av parentesuttrykk

\begin{align} {(a + b)}^{2} & = a^{2} + 2 a b + b^{2} & (17) \\ {(a - b)}^{2} & = a^{2} - 2 a b + b^{2} & (18) \\ (a + b) \cdot (a - b) & = a^{2} - b^{2} & (19) \end{align}

Rekneregel 2.2: Rekneregel: Kvadratsetningane

Øvingsoppgåve 2.14 Produkt A gjekk opp 2% i fjor, og ned 4% i år. Produkt B gjekk ned 4% i fjor, og opp 2% i år. Me veit ikkje kva produkta kosta i utgangspunktet. Kva produkt har gått (prosentvis) mest ned i pris samanlagt over desse to åra, eller har dei gått like mykje ned?

Øvingsoppgåve 2.15 ( $⋆$ ) Løys fylgjande oppgåver frå læreboka: 1.2, 1.3, 1.5, 1.18.