Matematisk Problemløysing 2020

Grensekostnad

Topp- og botnpunkt

10.3 Topp- og botnpunkt

Eksempeloppgåve 10.13 Ålesund Dings og Profitt AS har rekna ut at dei har profittfunksjonen

P(x) = 0,007x2 + 75x + 600,

for x produserte og solgte dingsar. Bedrifta ynskjer å maksimera profitten. Kor mange dingsar bør dei produsera og selja?

Løysing 10.7 Lat oss teikna ei skisse i full fart, for å sjå kva me arbeider med. Her har me teikna på maskin, som ei avveksling.

PIC

Lat oss tenkja over kva som skjer med den deriverte når produksjonen x aukar. Profittkurva går fyrst oppover, dvs. positivt stigningstal, og P(x) > 0. Kurva flatar ut, som vil seia at stigningstalet vert mindre. På toppen går den deriverte frå å vera positiv, til å verta negativ. Mot høgre vert kurva brattare og brattare nedover, som vil seia at den deriverte vert svært negativ.

Akkurat på toppen, når den deriverte går frå positiv til negativ, er der eitt punkt der den deriverte er null. Det er toppunktet, beste moglege profitt, og det skal me finna. Me skal altso løysa likninga P(x) = 0.

Lat oss fyrst derivera

P(x) = 2 0,007x + 75 = 0,014x + 75.

Veksta skulle vera null, so me får likninga

0 = 0,014x + 75.

Når me løyser, får me

x = 75 0,014 = 5357,14.

Det er ok å skriva at svaret er 5357,14.

Er me litt grundigare, hugsar me at dingsar ikkje kan delast opp. Svaret skulle difor vera anten 5357 eller 5358. Lat oss sjekka kva som er best

P(5357) = 0,007 53572 + 75 5357 + 600 = 201 492,86, (76)  P(5358) = 0,007 53582 + 75 5358 + 600 = 201 492,85. (77) 

Det optimale er altso å produsera 5357 dingsar.

Øvingsoppgåve 10.14 Ørsta Fisk og Profitt AS har rekna ut at dei har profittfunksjonen

P(x) = 0,02x2 + 100x + 120,

for x produserte og solgte dingsar. Bedrifta ynskjer å maksimera profitten. Kor mange dingsar bør dei produsera og selja?

Øvingsoppgåve 10.15 Ta funksjonen

f(x) = x2 + 2x + 5.

Finn minimumspunktet, dvs. den x-verdien som gjev minst verdi for f(x).

Øvingsoppgåve 10.16 Ta funksjonen

f(x) = x2 2x 12.

1.
Har f(x) eit topp- eller botnpunkt?
2.
Finn optimum (topp- eller botnpunkt).