Matematisk Problemløysing 2020

Kostnadsoptimum

Den lineære kostnadsfunksjonen

15.2 Den lineære kostnadsfunksjonen

Eksempeloppgåve 15.3 Ei bedrift har kostnadsfunksjonen

K(x) = 10x + 50.

Finn gjennomsnittskostnaden A(x). Drøft og skisser A(x) og finn kostnadsoptimumet.

Løysing 15.2 Gjennomsnittskostnaden er gjeven som

A(x) = K(x) x = 10 + 50 x .

Lat oss fyrst analysera dei variable og dei faste kostnadene kvar for seg. Me skriv

A1(x) = 10, (106)  A2(x) = 50 x , (107)  A(x) = A1(x) + A2(x). (108) 

Legg merke til at A2(x) er udefinert for x = 0, men kva skjer når x 0+, dvs. når x er positiv og nærmar seg 0. Når me deler på eit stadig mindre tal, vert brøken stadig større, so A2(x) . Omvendt kan me sjå, når x , at A2(x) 0+.

Me ser òg at A1(x) er konstant, dvs. ei vassrett line, og me kan skissera A1(x) og A2(x) i diagrammet.

PIC

I skissa ser me korleis kurva åt A2(x) nærmar seg x-aksen når x , og y-aksen når A2(x) . Me har òg skissert A(x). Sidan A(x) er summen av A2(x) og A1(x) = 10, vert kurva lik A2(x) flytta ti steg opp langs y-aksen.

Me har skissert funksjonen for negative verdiar av x for å illustrera korleis slike funksjonar ser ut generelt. Sidan negativt produksjonsvolum ikkje gjev meining, er dette ikkje relevant for kostnadsfunksjonar.

Kostnadsoptimumet er ikkje definert her. Den lågaste einingskostnaden får me når x .

Øvingsoppgåve 15.4 Ei bedrift har kostnadsfunksjonen

K(x) = 2x + 100.

Finn gjennomsnittskostnaden A(x). Kva kan me seia om kostnadsoptimumet?