Statistikk og Simulering

Økt 1. Stokastiske variablar

Etterarbeid

2.3. Etterarbeid

Les 1

  • Les gjennom kapittel 1–2 i Frisvold og Moe.
  • Skaff deg tilgang til MATLAB. Se innsida.
  • Gjenta MATLAB-programmene fra den forrige undervisningstimen.

2.3.1. Diskrete sannsynlighetsfordelinger

Oppgåve 2.21 Vi slår kron og mynt to ganger. Hva er i så fall sannsynligheten for at vi får utfallene:

  • 0 ganger mynt
  • 1 ganger mynt
  • 2 ganger mynt

Oppgåve 2.22 Betrakt et eksperiment hvor vi slår kron og mynt to ganger, hvor vi teller antallet ganger kron. Tegn et søylediagram med de mulige utfallene på den horisontale aksen, og den korresponderende sannsynligheten på den vertikale aksen. Denne grafen viser (grafisk) sannslighetsfordelingen for antall ganger kron i et kast med to mynter.

Oppgåve 2.23 Slå kron og mynt to ganger, og tell antallet ganger kron (0, 1 eller 2). Gjenta dette eksperimentet 15 ganger og tegn opp resultatene i et histogram.

Oppgåve 2.24 Skriv inn den følgende koden i MATLAB:

1clear 
2n=2 
3trials=15 
4for i=1:trials 
5   t=rand(1,n)<0.5; 
6   x(i)=sum(t); 
7end 
8hist(x,0:n)

Explanation 5 Arrayen t har lengde n = 2. I hvert eksperiment blir begge elementene, uavhengig fra hverandre satt til 0 eller 1 med lik sannsynlighet (som i et virtuelt eksperiment hvor vi slår kron (1) og mynt (0) to ganger på rad). Det summerte resultatet blir så lagt til som siste element i en array med navn x. Til slutt blir det generert et histogram som viser hvor mange ganger de forskjellige utfallene 0, 1, og 2 intraff.

Oppgåve 2.25 Om vi slår kron og mynt tre ganger og teller antallet ganger kron, hva er sannsynligheten for de forskjellige utfallene (0, 1, 2 og 3)?

Oppgåve 2.26 Betrakt et eksperiment hvor vi slår kron og mynt tre ganger, hvor vi teller antallet ganger kron. Tegn et søylediagram med de mulige utfallene på den horisontale aksen, og den korresponderende sannsynligheten på den vertikale aksen. Denne grafen viser (grafisk) sannslighetsfordelingen for antall ganger kron i et kast med tre mynter.

Oppgåve 2.27 Ta en mynt, kast den tre ganger og tell antallet ganger kron. Gjenta eksperimentet 15 ganger, og tegn et histogram av resultatene.

Oppgåve 2.28 Endre MATLAB-koden for å simulere en rekke på 15 eksperimenter, hvert med tre mynter.

Oppgåve 2.29 Hvilke mulige utfall har vi om vi betrakter antallet ganger kron i løpet av n kast med en mynt?

Oppgåve 2.30 Skriv inn den følgende koden i MATLAB:

1clear 
2n = 2; % Number of coin flips for each trial 
3trials = 30; % Number of trials 
4for i = 1:trials 
5   t = rand(1, n) < 0.5; % For trial #i, t is an array of n coin flip outcomes. 
6   x(i) = sum(t); % For trial #i, x(i) is the total number of heads. 
7end 
8probabilities(:,1) = hist(x, (0:n), 1) / trials; 
9% The experimental probabilities for the total numbers of heads 0, 
10% 1, ..., n are assigned to the first column of the matrix named 
11% ~probabilities~. 
12for i = 1:(n+1) 
13    probabilities(i,2) = nchoosek(n, i-1) / 2^n; 
14    % The theoretical probabilities for the total numbers of heads 0, 
15    % 1, ..., n are assigned to the second column of the matrix 
16    % named ~probabilities~. 
17end 
18bar((0:n), probabilities, ’grouped’) 
19% The experimental and theoretical probabilities for the total 
20% numbers of heads are plotted together in a histogram.

Oppgåve 2.31 Kjør koden i MATLAB.

1.
Dobbeltklikk på variabelen t i MATLAB workspacen som inneholder alle variablene, for å vise verdien til t. Forklar hva du finner. Gjenta om nødvendig.
2.
Inspiser deretter variabelen x. Forklar hva du finner.
3.
Inspiser verdien til variabelen probabilities Forklar hva du finner.

Oppgåve 2.32 Tilpass koden for å sample sannsynlighetsfordelingen for antallet ganger kron i løpet av 3, 5 og 10 kast med en mynt. Hva ser du?

Den fascinerende effekten at summen av flere stokastiske variabler fort nærmer seg en normalfordeling (eller klokkekurve, eller Gaussfordeling) kalles for sentralgrensesetningen og blir behandlet senere.