Statistikk og Simulering

Økt 1. Stokastiske variablar

Andre time. Simulering i Matlab

2.2. Andre time. Simulering i Matlab

Målet med denne timen er å forstå hva vi mener med simulering, og å simulere noen enkle stokastiske eksperimenter.

I tillegg prøver vi å skape en intuitiv forståelse av begrepet:

Explanation 1 Vi begynner med et lite sammendrag av noen begreper i den forrige timen.

En stokastisk variabel er en variabel som kan anta flere verdier, hver med sin egen sannsynlighet. Disse sannsynlighetene må til sammen være lik 1: Vi er 100% sikker at eksperimentet har eksakt ett utfall. I tilfellet vi slår mynt og kron, har vi: P(mynt) + P(kron) = 0.5 + 0.5 = 1.

Vi antyder en stokastisk variabel med en stor bokstav, som X eller Y . Den samme bokstaven i småskrift antyder de mulige utfallene som den stokastiske variabelen kan anta. Når vi betrakter et kast med en mynt, kan vi skrive P(X = x) = 0.5. Dette betyr at sannsynligheten for at vår stokastiske variabel X antar verdien x, er lik 50%. Dette gjelder for begge utfall: P(X = 0) = 0.5 (d.v.s., 50% sannsynlighet for at utfallet blir “mynt”), og P(X = 1) = 0.5 (d.v.s., 50% sannsynlighet for at utfallet blir lik “kron”).

Vi skal nå simulere et enkelt kast med en mynt.

Vi betrakter MATLAB-programmet:

1 
2rand

Oppgåve 2.10 (Diskusjon) Hva gjør dette programmet?

Nå ser vi på MATLAB-programmet:

1 
2rand<0.5

Oppgåve 2.11 (Diskusjon) Igjen, hva gjør dette programmet?

Koden over returnerer enten 0 eller 1, begge med lik sannsynlighet P(kron) = P(mynt) = 0.5.

Explanation 2 Forklaring: Funksjonen rand returnerer et (pseudo-) slumptall i intervallet 0, 1. Påstanden rand < 0.5 er enten sann (1) eller usann (0), begge med lik sannsynlighet.

MATLAB-koden rand(n,m) genererer en n × m matrise av tilfeldige tall mellom 0 og 1.

Oppgåve 2.12 (Diskusjon) Hva gjør de følgende MATLAB-programmene:

1rand(3, 5)<0.5 og 1rand(1, 2)<0.5

Vi kan bruke dette til å simulere et eksperiment hvor vi slår kron og mynt flere ganger på rad. Koden nedenfor genererer en rekke på 5 uavhengige kast med en mynt, og tegner et histogram av resultatene:

1clear 
2n=5 
3x=rand(1,n)<0.5 
4hist(x,0:1)

Explanation 3

  • Funksjonen rand(1, n) returnerer en rekke på n slumptall, alle i intervallet 0, 1.
  • Påstanden rand(1,n) < 0.5 returnerer sann (1) eller usann (0) for alle tallene i rekken.
  • Programmet genererer altså en rekke på 5 tall, alle lik 1 eller 0 med lik sannsynlighet.
  • Til slutt tegnes det et histogram, som viser antallet ganger utfallet 0, og antallet ganger utfall 1.

Oppgåve 2.13 (Diskusjon) Hva skjer når vi øker verdien til variabelen trials? Dvs, hvordan ser histogrammet ut for antallet ganger kron og mynt i for eksempel 5, 10, 100, eller 10000 kast med en mynt?

Vi kan definere en hendelse som en mengde av utfall. For eksempel, de mulige utfallene når vi slår en terning er {1, 2,, 6}. Vi kan være interessert i det spesiale tilfellet hvor vi kaster enten 5 eller 6, med andre ord, hendelsen {5, 6}.

Oppgåve 2.14 (Diskusjon) Hva er sannsynligheten for hendelsen {5, 6}?

I tilfellet at alle utfall har lik sannsynlighet, kan sannsynligheten av en hendelse regnes ut som:

P(hendelse) = antall gunstige utfall antall mulige utfall (1) 

hvor et utfall er “gunstig” om det ligger i hendelsen.

Oppgåve 2.15 (Socrative) Ta en mynt, kast den to ganger, og tell antallet ganger at utfallet blir kron. Vi gjentar eksperimentet flere ganger, og tegner et histogram av resultatene.

Oppgåve 2.16 (Diskusjon) Vi slår kron og mynt to ganger. Hva er i så fall sannsynligheten for at vi får utfallene:

  • 0 ganger mynt
  • 1 ganger mynt
  • 2 ganger mynt

Oppgåve 2.17 (Diskusjon) Tegn et søylediagram med de mulige utfallene på den horisontale aksen, og den korresponderende sannsynligheten på den vertikale aksen. Denne grafen viser (grafisk) sannslighetsfordelingen for et kast med to mynter.

Oppgåve 2.18 Betrakt MATLAB-koden:

1clear 
2n=2 
3trials=5 
4for i=1:trials 
5t=rand(1,n)<0.5; 
6x(i)=sum(t); 
7end 
8hist(x,0:n)

Explanation 4 Programmet over simulerer et eksperiment hvor vi kaster to mynter 5 ganger. Arrayen t har lengde n = 2. I hvert eksperiment får begge elementene av t verdien 0 eller 1, med lik sannsynlighet. (Sammenlikn et virtuelt eksperiment hvor vi kaster n = 2 mynter). Resultatet av hvert eksperimentet med to mynter, som er antallet ganger kron (altså 0, 1, eller 2), blir deretter lagt til i arrayen x. Til slutt blir det generert et histogram av utfallene, som viser hvor mange ganger vi fikk 0, 1, og 2 ganger kron.

Oppgåve 2.19 (Diskusjon) Hva skjer når vi øker verdien til variabelen trials? Dvs, hvordan ser histogrammet ut for antallet ganger kron i to kast med en mynt, om vi gjentar eksperimentet for eksempel 5, 10, 100, og 10000 ganger?

Oppgåve 2.20 (Diskusjon) Hva er sannsynligheten for å kaste 7 øyne i et kast med to terninger?