Statistikk og Simulering

Økt 7. Binomialfordelinga

Analytisk sannsynsrekning (klasseromstimen)

8.1. Analytisk sannsynsrekning (klasseromstimen)

I Økt 6 simulerte me ord som vart sendt på den binærsymmetriske kanalen BSC(p) og talte bitfeila. Talet på bitfeil kalte me Z. Sidan BSC lagar tilfeldige feil, er Z ein stokastisk variabel.

Døme 3 Når me sender éin bit over BSC har me to moglege utfall: feil eller ikkje feil. Alle bits som vert sende er uavhengige av kvarandre.

Dette er eit døme på eit Bernoulli-forsøk.

Definisjon 8 (Bernoulli-forsøk) Eit Bernoulli-forsøk er eit eksperiment som har to moglege utfall, me kaller dei gjerne suksess (suksess) og mislukka (failure), og der eksperimenta er uavhengige av kvarandre. Me skriv gjerne p for suksess-sannsynet.

Det er forvirrande, men det som er bitfeilsannsynet p på BSC, vert gjerne kalt suksessannsynet p når me studerer Bernoulli-forsøket. Ein skal hugsa at namna suksess og mislukka er vilkårlege. Poenget er at der er to utfall. Suksess viser gjerne til det utfallet som me vel å fokusera på, og dermed gjerne til feil i kodeteori.

Døme 4 Feiltalet Z er resultatet av å gjera n Bernoulli-forsøk med suksessannsyn p og telja suksessane. Me seier at Z er binomialfordelt B(n,p).

Oppgåve 8.1 Tenk deg at du sender eit 4-bits ord på BSC(p) med feilsannsyn p = 0.1. Me kaller talet for feil for Z.

1.
Kva er sannsynet P(Z = 0) for å få ingen feil?
2.
Kva er sannsynet P(Z = 4) for å få berre feil?
3.
Kva er sannsynet P(Z = 1) for å nøyaktig éin feil?
4.
Kva er sannsynet P(Z = 2)?
5.
Kva er sannsynet P(Z = 3)?

Oppgåve 8.2 Sjå vidare på sannsynsfordeling frå Oppgåve 8.1. Finn forventingsverdien E(Z).

Oppgåve 8.3 Sjå vidare på sannsynsfordeling frå Oppgåve 8.1. Finn variansen σ2 = var(Z) og standardavviket σ.

Oppgåve 8.4 Tenk deg at du sender eit 4-bits ord på BSC(p) for ein vilkårleg verdi av p. Me kaller talet for feil for Z.

Finn sannsynet P(Z = z) for z = 0, 1, 2, 3, 4.

Oppgåve 8.5 Sjå vidare på sannsynsfordeling frå Oppgåve 8.4. Finn forventingsverdien E(Z).

Oppgåve 8.6 Sjå vidare på sannsynsfordeling frå Oppgåve 8.4. Finn variansen σ2 = var(Z) og standardavviket σ.

Oppgåve 8.7 Tenk deg at du sender eit n-bits ord på BSC(p) for ein vilkårlege verdiar av n og p. Me kaller talet for feil for Z.

Finn sannsynet P(Z = z) for z = 0, 1,,n.

Oppgåve 8.8 Oppgåve 7.8 og 7.10–7.12 i Frisvold og Moe.