Matematisering

Prosentrekning

Vekstfaktor

2.2 Vekstfaktor

  2.2.1 Vekst over fleire periodar
  2.2.2 Påfylgjande prosentoperasjonar
  2.2.3 Generelle observasjonar

Til øvingstimen 2 (26. august 2019) De bør prioritera fylgjande oppgåver: 2.29/30, 2.32/33, 2.26–37, 2.38/39, 2.42/43, 2.45/46. Dersom de kan løysa eksempeloppgåva utan å bruka løysingsforslaget, er det lov å hoppa over øvingsoppgåva som fylgjer. Det kan vera hardt å koma gjennom alle desse oppgåvene i løpet av timen, men det er viktig

2.2.1 Vekst over fleire periodar

Ei prisauke frå 10 kr. til 15 kr. kan skildrast på to måtar, anten additivt (med pluss) eller multiplikativt (med ganging):

\begin{align} 15 kr & = 10 kr + 5 kr & (7) \\ 15 kr & = 10 kr \cdot 1,50 & (8) \end{align}

Hittil har me arbeidd med additiv endring, anten me har skildra det som ei absolutt auke på 5kr. eller ei relativ auke på 50%.

Merk at me òg taler om additiv og multiplikativ endring om ei nedgang, t.d. frå 10kr. til 8kr.:

\begin{align} 8 kr & = 10 kr - 2 kr & (9) \\ 8 kr & = 10 kr \cdot 0,80 & (10) \end{align}

Faktorane $1,50$ i (8) og $0,80$ i (10) kallar me for vekstfaktorar.

Eksempeloppgåve 2.29 Sett at me set inn $x$ kr. på bankkonto til $3 %$ rente per år. Saldoen etter eitt år er då $x$ kr. pluss $x \cdot 0,03$ kr. i renter, til saman $x + x \cdot 0,03$ . Finn vekstfaktoren på bankkontoen.

Løysing 2.11 Legg merke til den felles faktoren $x$ i uttrykket for saldoen (inneståande beløp på kontoen). Då kan me setja $x$ utanfor ein parentes og få.

x + x \cdot 3 % = (x \cdot 1 + x \cdot 3 %) = (x \cdot 1 + x \cdot 0,03) = x \cdot (1 + 0,03) .

Vekstfatoren er då $1 + 0,03$ , eller penare skrive $1,03$ .

Merk at me ikkje treng å kjenna beløpet $x$ for å finna vekstfaktoren.

Øvingsoppgåve 2.30 Bustadprisane har stige med $6,5 %$ siste året. Kva er vekstfaktoren?

Øvingsoppgåve 2.31 Prisindeksen er stige frå 1200 til 1216 siste året. Kva er vekstfaktoren for prisindeksen?

Løysing 2.12 (Utfyllingsforslag) Me løyser oppgåva i to steg.

1.: Finn prosentvis auke. Prisindeksen har gått opp 16 poeng frå 1200 poeng. Kva er prosentvis auke?
2.: Finn vekstfaktoren ut frå den prosentvise auka.

Fullfør kvart steg på eiga hand.

Eksempeloppgåve 2.32 Gjennomsnittleg kvadratmeterpris på nye bustader var 20 250 kr. i fjor. I år er prisen 20 010 kr. Kva er vekstfaktoren?

Løysing 2.13 (Tostegsløysing) Me ser ein prisnedgang på $20 250 - 20 010 = 240$ kr. Prosentvis nedgang er då

\frac{240}{20250} = 0.0119 = 1,19 % .

Me kan skriva den nye prisen som

20 010 = 20 250 - 0,0119 \cdot 20 250 = (1 - 0,0119) \cdot 20 250 = 0,988 \cdot 20 250 .

Vekstfaktoren er altso $0,988$ .

Løysing 2.14 (Likning) Me kan modellera auka direkte med den ukjend vekstfaktoren. Lat oss kalla vekstfaktoren for $v$ . Auka er da modellert som

nypris = v \cdot førpris,

eller

20 010 = v \cdot 20 250 .

Dette er ei enkel fyrstegradslikning som me løyser ved å dela på førprisen:

\begin{align} \frac{20 010}{20 250} = v . & (11) \end{align}

Divisjonen kan me ta på kalkulator, og me får at vekstfaktoren er $v \approx 0,9881$ . Me ser ein prisnedgang på $20 250 - 20 010 = 240$ kr.

Øvingsoppgåve 2.33 Ola investerte 7500 kr. i aksjer i fjor. I år er porteføljen hans verd 6500 kr. Kva er vekstfaktoren på porteføljen hans?

Øvingsoppgåve 2.34 En cellekultur vog 200 gram i går. I dag veg han 350 gram. Kva er vekstfaktoren åt cellene?

Øvingsoppgåve 2.35 Kari investerte 9000 kroner i aksjefond i fjor. I år er andelen hennar verd 31 000 kr. Kva er vekstfaktoren på aksjefondet?

Merknad 2.5 Likning (11) i løysingsforslaget over er ofte brukt som definisjonen på vekstfaktor.

2.2.2 Påfylgjande prosentoperasjonar

Øvingsoppgåve 2.36 Prisen var 250 kr for to år sidan, men har auka med ein vekstfaktor på 1,1 to år på rad. Kva er prisen no?

Øvingsoppgåve 2.37 Buksa og jakka kostar 1000 kr kvar. Buksa gjekk opp 2% i fjor, og ned 4% i år. Jakka gjekk ned 4% i fjor, og opp 2% i år. Kor mykje kostar buksa og jakka no?

Eksempeloppgåve 2.38 Prisen var 200 kr for to år sidan, men har auka med ein vekstfaktor på 1,1 to år på rad. Kva er den samla vekstfaktoren over to år? Kva er samla prosentvis auke?

Løysing 2.15 Etter to år får me (i kroner)

\begin{align} nypris = 200 \cdot 1,1 \cdot 1,1 & (12) \end{align}

Me kan ganga faktorane i den rekkjefylgja me ynskjer. Me veit at $1,1 \cdot 1,1 = 1,21$ , og dermed har me

\begin{align} nypris = 200 \cdot 1,21 & (13) \end{align}

Den samla vekstfaktoren er altso $1,21$ , og den prosentvise auka er $21 %$ .

Merknad 2.6 Legg merke til korleis me bruker multiplikasjon med påfylgjande vekstfaktorar. Dette er viktig. Når me arbeider med vekstfaktor er det alltid multiplikasjon, og ikkje addisjon, og me skal sjå vidare at mange store og samansette problem vert enklare på denne måten.

Øvingsoppgåve 2.39 Du set inn 400 kroner på konto til 2% rente. Kva er vekstfaktoren? Kva er samla vekstfaktor over to år?

Øvingsoppgåve 2.40 Du set inn 1200 kroner på konto til 3% rente. Kva er samla prosentvis saldoauke over to år?

Øvingsoppgåve 2.41 Buksa og jakka kostar 1000 kr kvar. Jakka gjekk ned 4% i fjor, og opp 2% i år. Buksa gjekk opp 2% i fjor, og ned 4% i år. Kva er den samla prosentvise auka for jakka? For buksa?

Eksempeloppgåve 2.42 Prisauka i år er på 2%. Lønsmottakarane har fått lovnad om ein reallønsvekst på 1,5%. Kor mykje må lønningane auka nominelt?

Løysing 2.16 Rekninga i denne oppgåva er enkel, men det kan vera vanskelegare å verta overtydd om at me matematiserer riktig. Det kan difor vera nyttig å modellera svært omstendeleg.

For å vera konkret, lat oss seia at me ser på lønsauka for 2017 og 2018. Me taler gjerne om 2017-kroner og 2018-kroner for å skilja mellom verdien (kjøpekrafta) krona har på ulike tidspunkt. Når prisstiginga er 1,5%, tyder det at du treng 1,5% fleire 2018-kroner enn 2017-kroner for å ha same kjøpekraft.

Lat oss seia at løna var $x$ 2017-kroner i 2017. Det er det same som $x \cdot 1,015$ 2018-kroner. For å ha null reallønsvekst, treng lønsmottakarane altso ei nominell lønsvekst på 1,5%.

No vil me auka kjøpekrafta med 2%. Dvs. at løna må auka frå $x \cdot 1,015$ 2018-kroner til $x \cdot 1,015 \cdot 1,02$ 2018-kroner. Dette kan forenklast som

x \cdot 1,015 \cdot 1,02 = x \cdot 1,0353 .

Løna skal altso auka frå $x$ 2017-kroner til $x \cdot 1,0353$ 2018-kroner, som gjev ei nominell lønsvekst på $3,53$ %.

Øvingsoppgåve 2.43 Prisauka i år er på 1,8%. Kor mykje må lønningane auka (nominelt) for å få null reallønsvekst?

Øvingsoppgåve 2.44 Prisauka i år er på 1,5%, og lønsmottakarane krev 2,5% reallønsvekst. Kor stor må den nominelle lønsauka vera for å få det til?

Eksempeloppgåve 2.45 Sist år har lønningane stige 1%, men prisauka har vore 2%. Kor stor har reallønsveksten vore?

Løysing 2.17 Lat oss seia at lønninga i fjor var $x$ 2017-kroner. Vekstfaktoren nominelt var $1,01$ . Me er interessert i den reelle vekstfaktoren, lat oss kalla han $v$ .

Dersom me reknar med nominell løn, vert lønninga i år $x \cdot 1,01$ 2018-kroner. Med realløn, får me $x \cdot v$ 2017-kroner. Sidan ein 2017-krone er verd det same som 1,02 2018-kroner, kan me rekna realløna om til nominell løn, som gjev $x \cdot v \cdot 1,02$ 2018-kroner.

No har me to uttrykk for nominell løn etter auka, og dei må vera like

x \cdot 1,01 = x \cdot v \cdot 1,02 .

Ved å dela på båe sider, får me

\frac{1,01}{1,02} = v .

Med kalkulator finn me at vekstfaktoren er 0,9902. Prosentvis reallønsauke er $v - 1 = - 0,0098$ eller $- 0,98$ %.

Negativt tal tyder her ein reallønsnedgang på 0,98%.

Øvingsoppgåve 2.46 Sist år har lønningane stige 2%, og prisauka har vore 1%. Kor stor har reallønsveksten vore?

2.2.3 Generelle observasjonar

Til øvingstimen 3 (28. august 2019) NB. Dersom du er på etterskot med oppgåvene forrige veke, bør du bruka økta i dag til å henta deg inn igjen. Når me går vidare, er me avhengige av at du forstår stoffet frå dei to fyrste øktene, men økta i dag kan du klara deg utan ein stund.

1.: Løys oppgåvene nedanfor (i dette delavsnittet).
2.: Løys fylgjande oppgåver frå læreboka: 1.2, 1.3, 1.5, 1.18.

Eksempeloppgåve 2.47 Sett at du set inn eit beløp $x$ på bankkonto og får rente $r$ per år i to år. Er det alltid slik at det totale rentebetalinga er større enn $2 r$ , uansett verdi på $x$ og $r$ ?

Døme 2.1 Før me gjer oppgåva som han står, lat oss sjå på ein variant med konkrete tal.

Sett at du set inn 1000 kr. på bankkonto og får 10% rente per år i to år.

	Saldo inn	Rente	Saldo ut
År 1	1000	$10 % \cdot 1000 = 100$	$1000 + 100 = 1100$
År 2	1100	$10 % \cdot 1100 = 110$	$1100 + 110 = 1210$

Rentene på tusenlappen som du starta på utgjer 10% per år, eller 20% til saman. Det fyrste året har me berre fått den eine hundrelappen som utgjer 10%. Det andre året har me fått 10 kr. ekstra. Kvifor det?

Den ekstra tiaren er rentene på hundrelappen som me fekk året før. Dette utgjer 10% av 10% av 1000 kr. Mao. dei totale rentene me har fått er

2 \cdot 10 % + 10 % \cdot 10 % = 2 \cdot 0,1 + 0,1 \cdot 0,1 = 0,2 + 0,01 = 20 % + 1 % .

Den éine prosenten som me får ekstra kallar me gjerne for rentesrente, dvs. renter på renter.

Når me samanliknar med den opprinnelege oppgåva er $r = 10 % = 0,1$ og $x = 1000$ .

Løysing 2.18 Dette problemet er lett å løysa med algebra. Både sparebeløpet $x$ og rentesatsen $r$ er ukjende, men me kan like fullt skriva $(1 + r)$ for vekstfaktoren, og for saldoen etter to år har me

y = x \cdot {(1 + r)}^{2} .

Kan me skriva potensuttrykket på andre måtar?

Me har

{(1 + r)}^{2} = (1 + r) (1 + r) = 1 + r + r + r^{2} = 1 + 2 r + r .

Mao.

y = x \cdot (1 + 2 r + r^{2}) .

Den totale vekstfaktoren over to år er altso $1 + 2 r + r^{2}$ . Sidan $r^{2} > 0$ , vert altso den totale renteutbetalinga alltid større enn $2 r$ .

Merknad 2.7 Dersom den algebraiske løysinga er vond å forstå, prøv å samalikna ho med dømet over. Du kan godt skriva om dømet med vekstfaktor slik at det får den same strukturen som den algebraiske løysinga, og like gjerne omvendt, skriva om algbraen som ein tabell etter skjema frå dømet.

Det er heilt normalt at ein må studera døma frå fleire vinklar for å forstå det.

Merknad 2.8 Lat oss sjå litt nærare på saldoen etter to år. Skriv

y = x \cdot (1 + 2 r + r^{2}) = x + x \cdot 2 r + x \cdot r^{2} .

Her har me tre ledd. Det fyrste, $x$ , er den opprinnelege saldoen. Det neste, $x \cdot 2 r$ eller $2 x r$ er rentene for to år. Det siste $x \cdot r^{2}$ vert kalla rentesrenter, dvs. rentene me får andre året på rentene som vart lagt til fyrste året.

Øvingsoppgåve 2.48 Sett at prisen på ein vare går opp med $r$ prosent eit år, og ned $r$ prosent året etter. Kva er den samla endringa over to år, i prosent?

\begin{align} a \cdot (b + c) & = a \cdot b + a \cdot c & (14) \\ (b + c) \cdot a & = b \cdot a + c \cdot a & (15) \\ (a + b) \cdot (c + d) & = a \cdot c + b \cdot c + a \cdot d + b \cdot d & (16) \end{align}

Rekneregel 2.1: Rekneregel: Multiplikasjon av parentesuttrykk

\begin{align} {(a + b)}^{2} & = a^{2} + 2 a b + b^{2} & (17) \\ {(a - b)}^{2} & = a^{2} - 2 a b + b^{2} & (18) \\ (a + b) \cdot (a - b) & = a^{2} - b^{2} & (19) \end{align}

Rekneregel 2.2: Rekneregel: Kvadratsetningane

Øvingsoppgåve 2.49 Produkt A gjekk opp 2% i fjor, og ned 4% i år. Produkt B gjekk ned 4% i fjor, og opp 2% i år. Me veit ikkje kva produkta kosta i utgangspunktet. Kva produkt har gått (prosentvis) mest ned i pris samanlagt over desse to åra, eller har dei gått like mykje ned?