Matematisering

Prosentrekning

Grunnleggjande prosentrekning

2.1 Grunnleggjande prosentrekning

  2.1.1 Prosentdel
  2.1.2 Prosentvis endring
  2.1.3 Meirverdiavgift
  2.1.4 Prosent og prosentpoeng
  2.1.5 Vidare lesing

2.1.1 Prosentdel

Til øvingstimen 1 (19. august 2019) De bør prioritera fylgjande oppgåver: 2.1/2, 2.5/6, 2.7/8, 2.10/11, 2.13, 2.14/15, 2.21/22, 2.25.26. Dersom de kan løysa eksempeloppgåva utan å bruka løysingsforslaget, er det lov å hoppa over øvingsoppgåva som fylgjer. Det kan vera hardt å koma gjennom alle desse oppgåvene i løpet av timen, men det er viktig.

Eksempeloppgåve 2.1 I ein studie om sparing vert 200 studentar spurde om dei sparer i BSU (bustadsparing for ungdom). Av dei svarer 80 studentar ja. Kor stor prosentdel av studentane sparer i BSU?

Løysing 2.1 Delen av studentane som sparer i BSU, er

80 sparande studentar utav 200 studentar totalt,

som svarer til brøken

80 200.

Me kan skriva om brøken slik at me får 100 i nemnaren:

80 200 = 2 40 2 100 = 40 100 = 40%.

Prosent tyder det same som hundredelar, so 40 hundredelar, eller 40% av studentane sparer i BSU.

Øvingsoppgåve 2.2 I ein annan studie vert 1000 arbeidstakarar spurde om dei sparer til pensjon utover obligatorisk tenestepensjon. Av dei svarer 140 ja. Kor stor prosentdel av arbeidstakarane sparer til ekstra pensjon?

Eksempeloppgåve 2.3 Av 135 studentar, strauk 53 til eksamen. Kor stor er strykprosenten?

Løysing 2.2 Strykdelen er 53 av 135, dvs.

53studentar 135studentar = 53 135 0,3926 = 39,26 100 = 39,26%.

Strykdelen er altso 39,26%.

Øvingsoppgåve 2.4 På ein annan eksamen var der 117 studentar og 12 av dei fekk A. Kor stor prosentdel fekk A?

Eksempeloppgåve 2.5 Der er 20,5% utanlandske studentar på masterstudiet. Totalt er der 117 studentar. Kor mange utlendingar studerer på studiet?

Løysing 2.3 Talet på utlendingar er 20,5% av 117, eller mao.

20,5% 117 = 0,205 117 = 23,985.

Sidan det her er tale om personar, må svaret vera eit heltal. Der er 24 utanlandske studentar på studiet.

Øvingsoppgåve 2.6 På hovudoppgåva fekk 14,8% av studentane A. Der var 88 studentar på studiet. Kor mange studentar fekk A?

2.1.2 Prosentvis endring

Eksempeloppgåve 2.7 Mjølka kosta 15kr. per liter i fjor, men prisen er auka med 3%. Kor mykje kostar mjølka no?

Løysing 2.4 Prisen er auka med 3% av 15kr., dvs. 15 0,03 kr. Me skriv (i kroner)

nypris = 15 + 3% 15 = 15 + 15 0,03 = 15 + 0,45 = 15,45.

Merknad 2.1 Merk at me ikkje skriv at nyprisen er 15 + 3%. Prosenter viser alltid til ein viss del av noko, og i matematisk notasjon må me skriva eksplisitt kva me tek ein prosentdel av: 15 + 3% 15. I vanleg språk er det lov å slurva litt. Når me skriv at prisen er 15kr. og aukar med 3%, so skjøner me (implisitt) at auka er 3% av 15kr.

Øvingsoppgåve 2.8 Kvitost brukte å kosta 90 kr. per kilo, men prisen er auka med 4%. Kor mykje kostar osten no?

Øvingsoppgåve 2.9 Marta lånte 750 kroner i fjor. Etter eit år er der påløpt 5% rente. Kva er lånesaldoen (uteståande beløp) no?

Eksempeloppgåve 2.10 Konsulentselskapet Gode råd A/S har kostnader på 10 millionar kroner i 2017. Av kostnadane er 80% personalkostnader, 10% husleige, og 10% andre utgifter. I 2018 aukar husleiga med 5%. Dei andre kostnadene aukar ikkje. Kor mykje aukar dei totale kostnadene i prosent?

Løysing 2.5 (Forslag 1) Lat oss fyrst rekna ut kostnadsauka i kroner. Husleiga h utgjer 10% av 10 millioner kroner (mkr), dvs.

h = 10 100 10mkr. = 1mkr.

Me kaller endringa i husleiga for Δh. Ho auker med 5% av 1 mkr., dvs.

Δh = 5 100 1mkr. = 0,05mkr.

Til slutt må me finna ut kor stor del auka på 0,05 mkr. utgjer av kostnadene på k = 10 mkr. Dvs.

Δh k = 0,05mkr 10mkr = 0,05 10 = 0,5 100 = 0,5%.

Kostnadsauka er altso 0,5%.

Merknad 2.2 Bokstaven Δ (i Δh) over er gresk og heiter delta. Det er vanleg notasjon i matematikk å kalla ei endring i ein variabel x for Δx.

Løysing 2.6 (Forslag 2) Kostnadsauka er på 5% av 10% av dei totale kostnadene. Denne auka, på 5% av 10%, kan skrivast som

5 100 10 100 = 50 10000 = 0,5 100 = 0,5%

av dei totale kostnadene. Kostnadsauka er altso 0,5% av dei totale kostnadene.

Merknad 2.3 Over har me fått to løysingsforslag. Forslag 2 er kortare og kan sjå enklare ut, men det er svært abstrakt. Me reknar med prostentdelar utan å skriva kva det er prosentdelar av. Mange vil finna det vanskeleg å verta overtydd om at svaret er rett, når argument er sopass abstrakt.

Forslag 1 reknar med kronar og vert difor meir konkret. Dette forslaget er betre egna til å overtyda ein lesar som ikkje er so god på prosentrekning. Om det trengst, kan ein vera endå grundingare og meir konkret, ved å setja opp alle kostnadene for to år i ein tabell,

Det er viktig at ein berre bruker forslag 2 dersom (1) ein veit at lesaren kan nok prosentrekning til å fylgja resonnementet, og (2) ein sjølv er god nok på abstrakt matematikk til å forvissa seg om at metoden er brukt rett. Sjølv om det er meir skriving skal ein rekna konkret dersom ein er i tvil.

Øvingsoppgåve 2.11 Gullsmed Syversen hadde eit varelager verd ein million kroner. Av dette var 70% sølvsmykker og 30% gullsmykker. I eit innbrot vart 75% av gullsmykkene stolne. Ingen av sølvsmykka vart stolne. Kor mykje tapte gullsmeden?

1.
Kor mykje tapte han i kroner?
2.
Kor mykje tapte han i prosent av verdien på varelageret?

Øvingsoppgåve 2.12 Investoren Bertin Vest har investert 30% av formuen i bankaksjar og 70% i oljeaksjar. I fjor tente han 10% av verdien på bankaksjane. Han korkje tapte eller tente pengar på oljeaksjane. Kor mykje tente han i prosent av den samla aksjeverdien?

2.1.3 Meirverdiavgift

Øvingsoppgåve 2.13 Meirverdiavgifta (mva) er eit påslag på 25% av prisen til seljaren. (Dette gjeld dei fleste varer, nokre varer, t.d. mat, har andre satsar.) Seljaren tek 300kr. for buksa (utan mva). Kor mykje må kjøparen betale for buksa (med mva)?

Eksempeloppgåve 2.14 Ein CD kostar 200kr. med mva. Kor mykje vert betalt til seljaren og kor mykje er mva?

Løysing 2.7 (Enkel løysing) Prisen til seljaren er 100% og mva. er 25%. Totalprisen er då 125% som svarer til 200 kroner. Ein prosent er då 200125 = 1,6 kroner.

Prisen til seljare er 100% eller 1,6 100 = 160 kroner.

Mva-beløpet er 1,6 25 = 40 kroner.

Nedanståande løysingsforslag er meir tungvint, men det kan vera nyttig å ta med seg likevel. For det fyrste er det somme tider vanskeleg å verta overbevist om at det enkle resonnementet er korrekt (som løysinga over). For det andre illustrerer det korleis me kan matematisera problemet på ein måte som er overførbar til meir avanserte eller komplekse problem.

Løysing 2.8 (Med modellering) Der er fleire måtar å løysa denne oppgåva på. Dersom ein er usikker på korleis ein skal gå fram, startar me med å matematisera den informasjonen me hev.

Prisen med mva. er oppgjeven, lat oss skriva pm = 200. Spørsmålet gjeld to ukjende storleikar: prisen uten mva. pu og mva. m. Kva veit me om samanhengane mellom desse tre storleikane?

I alle fall veit me at prisen med mva. er lik prisen utan + mva. Dvs. 

pm = pu + m. (1) 

Dessutan veit me at mva. er 25% av prisen utan mva., dvs.

m = 0,25 pu. (2) 

Det me har gjort so langt er å setja opp ein modell som viser samanhengane mellom pris og mva. For å setja opp modellen må me kombinera kunnskap om det praktiske problemet og matematikk, og me må tolka teksta i oppgåva. Når modellen er sett opp, har me ein rein matematisk, abstrakt formulering av problemet. Me seier at me har matematisert problemet.

No kan me setja inn for pm og for m i likning (1):

200 = pu + 0,25 pu. (3) 

Dette er ein heilt ordinær likning med ein ukjend. Neste steg er å løysa modellen (likninga).

Me kan trekja saman på høgre side, og få

200 = 1,25 pu. (4) 

Me kan dela med same tal på båe sider:

200 1,25 = pu, (5) 

eller pu = 160. Prisen utan mva. er altso 160 kr.

For å finna mva. må me gå tilbake til modellen, i likning (2):

m = 0,25 pu = 0,25 160 = 40. (6) 

Meirverdiavgifta er altso 40 kr.

Øvingsoppgåve 2.15 Ei vare kostar 100 kr. med mva. Kor mykje får seljaren? Kor mykje vert betalt i mva?

Øvingsoppgåve 2.16 Ei vare kostar 100 kr. med mva. Kor stor del av utsalsprisen er mva. (i prosent)?

Øvingsoppgåve 2.17 Ei vare kostar 240 kr. med mva. Kor mykje får staten i mva?

Øvingsoppgåve 2.18 Ei vare kostar 240 kr. med mva. Kor stor del av utsalsprisen er mva. (i prosent)?

Øvingsoppgåve 2.19 Ei vare kostar 500 kr. med mva. Kor stor del av utsalsprisen er mva. (i prosent)?

Øvingsoppgåve 2.20 Ei vare kostar x kr. med mva., for ein eller annan ukjend x. Kor stor del av utsalsprisen er mva.?

2.1.4 Prosent og prosentpoeng

Eksempeloppgåve 2.21 Avisa gjer kvar månad ei meiningsmåling der dei spør 1000 personar kva dei ville ha stemt om det var valg dagen etter. I april svarte 219 personar at dei ville ha stemt Arbeidarpartiet, og i mai svarte 271 personar det same. Kor mykje har oppslutnaden auka i prosent?

Løysing 2.9 Endringa er 271 219 = 52, som utgjer

52 219 = 0,237 44 = 23,7%.

Øvingsoppgåve 2.22 Line har eit lån på 10 000 kroner. Ho betaler ikkje avdrag, berre renter. I fjor betalte hun 400 kroner i renter, og i år betalte ho 450 kroner. Kor mykje har renteutgiftene auka i prosent?

Øvingsoppgåve 2.23 Line har eit lån på 10 000 kroner. Ho betaler ikkje avdrag, berre renter. I fjor betalte ho 400 kroner i renter, og i år betalte ho 450 kroner. Kva var rentesatsen i fjor (i prosent)? Kva er rentesatsen i år?

Øvingsoppgåve 2.24 Avisa gjer kvar månad ei meiningsmåling der dei spør 1000 personar kva dei ville ha stemt om det var valg dagen etter. I april svarte 200 personar at dei ville ha stemt Høgre, og i mai var det same talet 210.

1.
Kva var prosentvis oppslutnad i april?
2.
Kva var prosentvis oppslutnad i mai?
3.
Kor mykje har oppslutnaden auka i prosent?

Eksempeloppgåve 2.25 Avisa gjer kvar månad ei meiningsmåling der dei spør 1000 personar kva dei ville ha stemt om det var valg dagen etter. I april svarte 4% at dei ville røysta KrF, og i mai var det same talet 3%.

1.
Kor mykje har oppslutnaden endra seg i prosent?
2.
Kor mykje har oppslutnaden endra seg i prosentpoeng?

Løysing 2.10 Oppslutnaden var 4% eller 4 prosentpoeng, og vart 3% eller 3 prosentpoeng. Det er ei endring på 3 4 = 1 prosentpoeng, eller ei nedgang på eitt prosentpoeng.

Den prosentvise nedgangen er målt relativt til den gamle oppslutnaden på 4%, dvs. 

1prosentpoeng 4prosentpoeng = 1 4 = 25%.

Nedgangen er altso 25%, eller med forteikn, ei endring på 25%.

Merknad 2.4 Når renta aukar, t.d. frå 4% til 5%, seier me gjerne at auka er eitt prosentpoeng. Det er den absolutte endringa. Den relative (prosentvise) auka er 25%, sidan eitt prosentpoeng er 25% av den opprinnelege prosentsatsen på fire prosent(poeng).

Det same gjeld andre tilfelle der me måler i prosent. Me kan skildra den absolutte endringa i prosentpoeng, eller den relative endringa i prosent av den opprinnelege prosentsatsen.

Øvingsoppgåve 2.26 Det er fagfest på kjemistudiet. Dei har kjøpt inn fleire kasser cider som held 6% alkohol. Denne spritar dei opp. Labforsøk viser at den ferdige drikken held 9%.

1.
Kor mykje har dei auka alkoholinnhaldet (alkoholkonsentrasjonen) i prosentpoeng?
2.
Kor mykje har dei auka alkoholinnhaldet (alkoholkonsentrasjonen) i prosent?

Øvingsoppgåve 2.27 Lars har eit lån på 100 000 kroner. Han betaler ikkje avdrag, berre renter. I fjor var rentesatsen 4%, og i år er han 3,5%. Kor mykje betalte Lars i renter i fjor, og kor mykje i år? Kor mykje har rentene endra seg i prosent?

Øvingsoppgåve 2.28 Avisa gjer kvar månad ei meiningsmåling der dei spør 1000 personar kva dei ville ha stemt om det var valg dagen etter. I juni svarte 245 personar at dei ville ha stemt Arbeidarpartiet, og i juli var det same talet 210.

1.
Kva var prosentvis oppslutnad i juni?
2.
Kva var prosentvis oppslutnad i juli?
3.
Kor mykje har oppslutnaden endra seg i prosent?

2.1.5 Vidare lesing

Det kan vera nyttig å lesa fleire vinklingar på stoffet.

Lesing: Bjørnestad et al, kapittel 1.20.

Oppgåver: Bjørnestad et al, oppgåve 1.63.