Summeteiknet

Merknad 5.1 Me vil få nytte av meir kompakt, matematisk notasjon for tabellen i den alternative løysinga over. Skriv $S_{6}$ for saldoen etter seks år. Tabellen viser at $S_{6}$ er summen av seks ledd på formen $1000 \cdot {1,03}^{i}$ for ulike verdiar av $i$ . Matematisk skriv me

S_{6} = 1000 + 1000 \cdot {1,03}^{1} + 1000 \cdot {1,03}^{2} + 1000 \cdot {1,03}^{3} + 1000 \cdot {1,03}^{4} + 1000 \cdot {1,03}^{5}

eller

S_{6} = \sum_{i = 0}^{5} (1000 \cdot {1,03}^{i}) .

Me kan setja utanfor parentes, slik:

S_{6} = 1000 \cdot (1 + {1,03}^{1} + {1,03}^{2} + {1,03}^{3} + {1,03}^{4} + {1,03}^{5})

eller slik

S_{6} = 1000 \cdot (\sum_{i = 0}^{5} {1,03}^{i}) .

Ein slik sum, der alle ledda har formen $a \cdot b^{i}$ for ulike verdiar av $i$ , kaller me for ei geometrisk rekkje.

Merknad 5.2 Teiknet $\sum$ er den greske bokstaven stor sigma, men me kaller det gjerne for summeteikn når det er brukt som i merknaden over.

Eksempeloppgåve 5.3 Skriv fylgjande sum med summeteikn:

x^{2} + x^{4} + x^{6} + x^{8}

Løysing 5.3 Her er det eksponenten som varierer frå ledd til ledd. Alle er partal, som kan skrivast som $2 i$ , der $i$ går frå 1 til 4. Då kan me skriva summen som

\sum_{i = 1}^{4} x^{2 i} .

Øvingsoppgåve 5.4 Skriv fylgjande sum med summeteikn:

x + 2 x^{2} + 3 x^{3} + 4 x^{4} + 5 x^{5}

Øvingsoppgåve 5.5 Skriv fylgjande sum ut med eksplisitte ledd og plussteikn:

\sum_{i = 1}^{5} i .

Eksempeloppgåve 5.6 Ofte har me summar med svært mange ledd, t.d.

a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 100 a_{100} .

Skriv summen med summeteikn.

Løysing 5.4 Ellipsen ( $\dots$ ) indikerer manglande ledd. Der er ingen formelle regler som seier kva ledd som manglar. Me må sjå på mynsteret i dei ledda som finst, og litt sunt bondevett, og dei fleste vil då tenkja at der skal vera 100 ledd på formen $i \cdot a_{i}$ . Med summeteikn skriv me:

\sum_{i = 1}^{100} i \cdot a_{i} .

Øvingsoppgåve 5.7 Skriv fylgjande sum med summeteikn:

x^{2} + x^{3} + x^{4} + \dots x^{50} .

Merknad 5.3 Me skreiv parentesene i Merknad 5.1 av pedagogiske grunnar, for å unngå tvetyding og gjera operasjonane lettare gjenkjennelege. Dei er ikkje naudsynte, og det er korrekt å skriva

\begin{align} \begin{aligned} S_{6} & = \sum_{i = 0}^{5} 1000 \cdot {1,03}^{i} \\ = 1000 \cdot \sum_{i = 0}^{5} {1,03}^{i} . \end{aligned} & (30) \end{align}

Finansmatematikk

5.2 Summeteiknet