Logaritmar

Til øvingstimen 7 (11. september 2019) Denne økta bør de gjera alle oppgåvene i dette avsnittet.

Deretter kan de gjera fylgjande oppgåver i læreboka: 4.13, 4.16, 4.18 (Evt. kan de gå tilbake å gjera oppgåver som de ikkje rakk over forrige økt.)

Eksempeloppgåve 4.39 Ola set 100kr. i banken til 2% rente p.a. (per år). Kor mange år tek det før saldoen er fordobla?

Løysing 4.15 Me veit at saldoen hans Ola etter $t$ år er

\begin{align} S (t) = 100 \cdot {1,02}^{t} . & (20) \end{align}

Me har brukt den same modellen i fleire oppgåvetypar. Det nye er at det er $t$ som er ukjend, medan saldoen både før og etter perioden er kjend.

Lat oss no definera $t$ som tida det tek å dobla saldoen, dermed har me

\begin{align} S (t) = 2 \cdot 100 = 200 . & (21) \end{align}

Dei to likningane (20) og (21) gjev to uttrykk for den same storleiken $S (t)$ , og me kan setja dei saman i ei likning:

\begin{align} 100 \cdot {1,02}^{t} = 200 . & (22) \end{align}

Likninga må forenklast, og me gjer dei enklaste forenklingane fyrst. Me kan dela båe sidene på 100, og få

\frac{100 \cdot {1,02}^{t}}{100} = \frac{200}{100} .

eller

{1,02}^{t} = 2 .

No har me eksponentialfunksjonen aleine på venstre side. For å forenkla ytterlegare, treng me ein ny funksjon, logaritmefunksjonen $ln$ . Me skal koma tilbake til eigenskapene som logaritma har sidan, men me kan bruka $ln$ her vha. ein enkel regel og kalkulator.

Me kan skriva

ln {1,02}^{t} = ln 2 .

Når me bruker same funksjon på båe sidene i ei likning, må likskapen framleis halda. No bruker me logaritmeregelen (rekneregel 4.1) for å setja $t$ -en utanfor, slik at

t ln 1,02 = ln 2 .

Ved å dela på båe sidene, kan me få $t$ -en aleine

t = \frac{ln 2}{ln 1,02} .

Logaritmefunksjonen finn du på kalkulatoren, og me kan rekna ut og få

t \approx \frac{0,693}{0,0198} \approx 35,003 .

Sidan Ola berre får renter éin gong i året, bør svaret vera eit heiltall. Her fekk me so vidt over 35 år. Dvs. at saldoen er nesten dobla etter 35 år. Fyrst etter 36 år er saldoen passert 200kr., og rett svar når me ser på det praktiske problemet bør difor vera 36 år. I den matematiske modellen er tilnærma 35 år rett svar, men det er altso litt upresist i røynda.

Øvingsoppgåve 4.40 Kari har ein konto med 3% rente. Ho set inn 400 kr. Kor mange år tek det før saldoen er 1000 kr?

Øvingsoppgåve 4.41 Filip set inn eit beløp på konto til 2% rente. Kor lang tid tek det før beløpet er fordobla? Speler det noka rolle kor stort startbeløpet er?

Øvingsoppgåve 4.42 Karl tek opp eit lån på 2000 kr. til 3% rente p.a. Renta vert lagt til kvartalsvis (kvar tredje månad). Kor lang tid tek det før lånesaldoen er 3000kr.?

Eksempeloppgåve 4.43 Oveig har investert $\frac{1}{2}$ million kroner, men taper 5% i året. Kor lang tid tek det før formuen er halvert?

Løysing 4.16 Me løyser dette på same måte som oppgåve 4.39, bortsett frå at vekstfaktoren er mindre enn éin.

Tap på 5% gjev ein vekstfaktor på $0,95$ . Saldoen (i millionar) etter $t$ år er dermed

\begin{align} S (t) = \frac{1}{2} \cdot {0,95}^{t} . & (23) \end{align}

Me er interessert i tida $t$ når formuen er halvert, dvs. til ein kvart million. Då har me

\begin{align} S (t) = \frac{1}{4} . & (24) \end{align}

Dei to likningane (23) og (24) gjev to uttrykk for den same storleiken $S (t)$ , og me kan setja dei saman i ei likning:

\begin{align} \frac{1}{2} \cdot {0,95}^{t} = \frac{1}{4}, & (25) \end{align}

eller

\begin{align} {0,95}^{t} = \frac{1}{2}, & (26) \end{align}

Når me tek logaritmen, får me

\begin{align} log {0,95}^{t} = log \frac{1}{2}, & (27) \end{align}

eller

\begin{align} t \cdot log 0,95 = - log 2 . & (28) \end{align}

Tida som går er altso

\begin{align} t = \frac{- log 2}{log 0,95} = 13,51 . & (29) \end{align}

Det er ikkje klart frå oppgåva kor ofte ny saldo vert bokførd, so det er ikkje klart kor mykje me bør runda av. Me kan godt skriva at formuen er halvert etter om lag 13 $\frac{1}{2}$ år.

Øvingsoppgåve 4.44 Amalie har investert ein million kroner og taper 10% i året. Kor lang tid tek det før formuen er halvert?

Øvingsoppgåve 4.45 Prisen på PCar fell med 2% i året. Dersom dette held fram, kor lang tid går det før prisen er redusert med 20%?

Eksponentialfunksjonen

4.9 Logaritmar