Kontinuerleg forrenting

Eksempeloppgåve 4.19 Sjå på eit lån med 10% nominell rente per år. Me har sett at lånet veks raskare di oftare forrentinga skjer. Kor ofte går det an å forrenta? Kva er den høgaste vekstfaktoren me kan få ved å forrenta uendeleg ofte.

Løysing 4.6 Sei at me har $n$ renteperiodar per år. Kvar periode vert $(10 ∕ n) %$ lagt til lånet. Det svarer til ein vekstfaktor på

1 + \frac{0,1}{n} .

I løpet av året gongar me med vekstfaktoren $n$ gongar, slik at den samla vekstfaktoren vert

v (n) = (1 + \frac{0,1}{n})^{n} .

Lat oss sjå på nokre verdiar av $n$ og rekna ut med kalkulator.

Frekvens	$n$	$v (n)$
Årleg	1	1,1
Månadleg	12	1,104 713
Vekentleg	52	1,105 065
Dagleg	365	1,105 156
Kvar time	8760	1,105 170
Kvart minutt	525 600	1,105 171
Kvart sekund	31 536 000	1,105 171

Øvingsoppgåve 4.20 Sjå på eit fond som veks med 100% nominell rente per år, og samanlikna ulike renteperiodar. Kva er den høgaste årlege vekstfaktoren du finn ved å forrenta uendeleg ofte?

Løysing 4.7 (Utfylling) Me har $n$ renteperiodar per år, og kvar gong legg med til $(100 ∕ n) %$ eller $1 ∕ n$ på lånet. Det svarer til ein vekstfaktor på

1 + \frac{1}{n},

Når me gangar med den same vekstfaktoren $n$ gongar, ver den samla vekstfaktoren

v (n) = (1 + \frac{1}{n})^{n} .

Fyll inn resten av tabellen med verdiar for $v (n)$

Frekvens	$n$	$v (n)$
Årleg	1	2
Månadleg	12
Vekentleg	52
Dagleg	365
Kvar time	8760
Kvart minutt	525 600
Kvart sekund	31 536 000	2,718 28

Merknad 4.2 Talet som me nærmar oss i løysinga over, har fått namnet $e$ , og $e \approx 2,718 28$ . Formelt definerer me $e$ slik at når $n \to \infty$ (når $n$ går mot uendeleg), so vil

v (n) = (1 + \frac{1}{n})^{n} \to e,

dvs. går $v (n)$ mot $e$ . I løysinga over har me funne korrekt verdi for $e$ med fem desimalar.

Øvingsoppgåve 4.21 Sjå på eit fond som veks med 20% nominell rente per år, og samanlikna ulike renteperiodar. Kva er den høgaste årlege vekstfaktoren du finn ved å forrenta uendeleg ofte?

Øvingsoppgåve 4.22 Aksjefondet Bravur har gått so det suser, med ei verdiauke på 250% per år. Tenk deg ulike periodiseringar av verdiauka. Kva er den høgaste årlege vekstfaktoren du finn ved å forrenta uendeleg ofte?

Merknad 4.3 Det som me har kalt «forrenting uendeleg ofte» i oppgåvene over, vert kalla kontinuerleg forrenting i fagspråket.

Eksempeloppgåve 4.23 Ved å gjenta oppgåvene over, kan me finna omtrentleg årleg vekstfaktor ved koninuerleg forrenting for ulike rentesatsar.

Rentesats	Vekstfaktor
300%	20,086
200%	7,389
100%	$e \approx 2,718$
50%	1,649
10%	1,105
0%	1

Plott samanhengen mellom rentesats og vekstfaktor. Korleis vil du beskriva denne samanhengen?

Løysing 4.8 Me kan teikna plottet for hand, og få:

Denne kurva liknar på eksponentialfunksjonane som me har plotta i oppgåve 4.4. Dette ville ha vore enno tidlegare om me hadde teke med punkt for $400 %$ og større. Det er likevel naturleg å gissa på at vekstfaktoren er lik $e^{r}$ der $r$ er rentesatsen.

Øvingsoppgåve 4.24 I løysinga fremja me ein hypotese, om at årleg vekstfaktor $v$ ved kontinuerleg forrenting med rentesats $r$ , er gjeven som $v = e^{r}$ . Sjekk om denne samanhengen gjeld for dei vekstfaktorane som er rekna ut i oppgåve 4.23.

Løysing 4.9 (Utfylling)

Rentesats	Vekstfaktor	$r$	$v = e^{r}$	Lik
300%	20,086	3	20,086	Ja
200%	7,389		7,389
100%	$e \approx 2,718$
50%	1,649	0,5
10%	1,105
0%	1

Finn du noko tilfelle der $v = e^{r}$ ikkje er lik vekstfaktoren?

Merknad 4.4 Me legg merke til at me kan rekna ut potensen $e^{r}$ utan at $r$ er eit heiltal, i alle fall når me bruker kalkulator. Funksjonen $a^{x}$ er pen og glatt for alle ikkje-negative verdiar av $a$ og alle verdiar av $x$ .

Øvingsoppgåve 4.25 Sjekk om $v = e^{r}$ er riktig vekstfaktor for problema som du løyste i oppgåve 4.21 og 4.22.

Merknad 4.5 Når me har kontinuerleg forrenting med rentesats $r$ , so er samla årleg vekstfaktor lik $e^{r}$ .

Eksempeloppgåve 4.26 Ei investering på ein million kroner veks med kontinuerleg forrenting og rentesats $10 %$ i fem år. Kva er saldoen på slutten av kvart år i perioden?

Løysing 4.10 Lat oss setja det opp som ein tabell år for år. Vekstfaktoren er $e^{0,1}$ . Tala er i millionar kroner.

År	Saldo
1	$1 \cdot e^{0,1} = 1,105$
2	$1 \cdot (e^{0,1})^{2} = 1,221$
3	$1 \cdot (e^{0,1})^{3} = 1,350$
4	$1 \cdot (e^{0,1})^{4} = 1,492$
5	$1 \cdot (e^{0,1})^{5} = 1,649$

Øvingsoppgåve 4.27 Ei investering på 5000 kroner veks med kontinuerleg forrenting og rentesats $20 %$ i fem år. Kva er saldoen på slutten av kvart år i perioden?

Merknad 4.6 Merk at $e^{r}$ er den årlege vekstfaktoren ved kontinuerleg forrenting, og når fleire år går, gangar me (som vanleg) med same vekstfaktor for kvart år.

Øvingsoppgåve 4.28 Ei investering på 5000 kroner veks med kontinuerleg forrenting og rentesats $20 %$ . Kva er saldoen etter 2 $\frac{1}{2}$ år?

Merknad 4.7 Over har me funne ein formel for kontinuerleg forrenting. Når ein startkapital $K_{0}$ veks med kontinuerleg forrenting med rentesats $r$ , er kapitalen etter $t$ år gjeven som

K (t) = K_{0} \cdot (e^{r})^{t} .

Dette kan forenklast som

K (t) = K_{0} \cdot e^{r t} .

Dette fylgjer av potensreglane, men dei lyt ein slå opp andre plassar.

Eksponentialfunksjonen

4.5 Kontinuerleg forrenting