Eksponentialfunksjonen

Til øvingstimen 6 (9. september 2019) Denne økta skal de prioritera oppgåvene i fylgjande orden:

1.

Avsnitt 4.4 om de ikkje rakk det forrige økt.

2.

Avsnitt 4.6 (dette avsnittet). Dette er heilt kritisk for neste kapittel. Nokon rakk det kanskje forrige økt.

3.

Avsnitt 4.8. Dette gjev eit breidare perspektiv på sentrale idéar. Det einaste som er nytt er at døma kjem frå andre felt enn økonomi og finans.

4.

Avsnitt 4.5 og 4.7. Kjernepensum, men seinare stoff byggjer ikkje på det.

5.

Læreboka, oppg. 1.8, 1.15(a-d), 1.35, 4.1, 4.2, (4.7)

Eksempeloppgåve 4.29 Du skal halda brudlaup i januar 2020, og treng 50 000 kr. til festen då. Du set av pengar til festen allereie i desember 2018, slik at dei står på konto i eitt år til 2,5% rente. Kor mykje må du setja inn?

Løysing 4.11 Som vanleg kan me setja opp ein modell som viser samanhengen mellom pengar no, og pengane når me skal bruka dei. Lat oss skriva $S_0$ for summen me set inn i desember 2018, og $S_1$ for saldoen me kan ta ut i januar 2020.

Me har to opplysingar som me kan bruka i modellen. For det fyrste er $S_1$ lik $S_0$ pluss rentene, dvs.

For det andre er $S_1=\text{50 000}$. Det er nok informasjon til ei likning med ein ukjend:

Her løyser me ved å dela på $\text{1,025}$, og me får

Reknar me ut brøken på kalkulator, får me at me må setja inn er $\text{48 780,49}$ kr.

Øvingsoppgåve 4.30 Du skal arrangera ein stor festival om eitt år og treng ein million kroner til arrangementet. Du samlar inn pengar eit år på førehand og set dei på konto til 3% rente. Kor mykje må du setja inn? (Me føreset at perioden går nyttår til nyttår, slik at du får alle rentene med i utbetalinga.)

Definisjon 4.3 Dei to siste oppgåvene spør etter det som me kaller noverdi. Den summen du må setja av no, for å få eit visst beløp på eit visst tidspunkt i framtida med renter, er noverdien til beløpet. Når me reknar ut noverdien, taler me gjerne om diskontering, og rentesatsen vert gjerne diskonteringsrente. Vekstfaktoren $\frac{1}{1+r}$ kan me kalla diskonteringsfaktoren.

Når me reknar om frå framtidsverdi til noverdi, seier me at me diskonterer.

Eksempeloppgåve 4.31 Du planlegg eit innovasjonsprosjekt, som er venta å resultere i eit patent med ein marknadsverdi på 100 millionar kroner om fem år. Kva er noverdien til eit slikt patent når diskonteringsrenta er 4%?

Løysing 4.12 Som før kan me tenkja oss at noverdien $S_0$ står til forrenting (i banken) i fem år til 4% rente. Den framtidige verdien er $S_5=100$ mNOK. Me har altso

eller

Ved å dela på båe sider, får me

Me kalkulatoren $S_0=\text{82,19}$. Noverdien er altso 82,19 millionar kroner.

Øvingsoppgåve 4.32 Martin er 47 år og vil teikna ei livforsikring som skal gje han ei eingongsutbetaling $\text{500 000}$ kr. når han er 67 år. Diskonteringsrenta er 4%. Kva er noverdien på denne eingongsutbetalinga?