Sparemal | Matematikk fra Røynda

Eksempeloppgåve 5.13 Håkon sparer 1000 kr i året og får 5% rente. Kor mange år går det før han har spart opp 20 000 kr med renter?

Løysing 5.8 Her kjenner me saldoen på slutten, i tillegg til rentesatsen og sparebeløpet. Det me ikkje kjenner er kor lenge Håkon må spare. Lat oss skriva $n$ for talet på sparebeløp. Legg merke til at det går $n - 1$ år frå fyrste til siste sparebeløp.

Saldoen etter $n$ sparebeløp er en sum med $n$ ledd, slik

\begin{array}{l} S_{n} & = \sum_{i = 0}^{n - 1} 1000 \cdot {1,05}^{i} \\ = 1000 \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} {1,05}^{i} . \end{array}

Sidan me kjenner sparemålet, $S_{n} = 20000$ , kan me skriva dette som

\begin{array}{l} 20 000 & = 1000 \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} {1,05}^{i} . \end{array}

Me kan dela på 1000 med ein gong

\begin{array}{l} 20 & = \sum_{i = 0}^{n - 1} {1,05}^{i} . \end{array}

Høgre side kan forenklast med regelen for geometriske rekkjer

\begin{array}{l} 20 & = \frac{{1,05}^{n} - 1}{1,05 - 1} = \frac{{1,05}^{n} - 1}{0,05} . \end{array}

Dersom me gongar med 0,05 på båe sider, får me

\begin{array}{l} 1 & = {1,05}^{n} - 1, \end{array}

og til slutt kan me leggja til 1, og få

\begin{array}{l} 2 & = {1,05}^{n} . \end{array}

Når potensen står aleine, kan me bruka logaritmefunksjonen igjen, på same måte som i kapittel 4.9,

\begin{array}{l} ln 2 & = ln {1,05}^{n} = n \cdot ln 1,05 . \end{array}

Til slutt kan me dela gjennom for å løysa for $n$ :

\begin{array}{l} n = \frac{ln 2}{ln 1,05} \approx 14,2 . \end{array}

Håkon passerer altso 20 000 når han set inn det 15. sparebeløpet, 14 år etter at han starta å spara.

Øvingsoppgåve 5.14 Margrete sparer 500 kr i året og får 10% rente. Kor mange år går det før ho har spart opp 15 000 kr med renter?

Eksempeloppgåve 5.15 Nils er 37 år og planlegg pensjonen sin. Han meiner at han treng ein ekstra pensjonsformue på 3 000 000 kr når han er 67 år. Rentenivået er 4%. Kor mykje må han spara per år for å nå sparemålet sitt?

Løysing 5.9 Oppgåva gjev eit lite tolkingsrom i når han set inn det fyrste beløpet og når han tek ut det siste. For å unngå utfordringa med renter på innskot gjort midt på året, so går me ut frå at han alltid set inn sparebeløpet 31. desember. Dersom han startar når han er 37, so vil han vera 66 år når han set inn det 30. beløpet. Dei pengane er klar den dagen han fyller 67 år, utan at han har fått renter på det siste innskotet.

Denne gongen veit me kor mange periodar han sparer og kva han skal ha på slutten. Det er sparebeløpet me må finna, lat oss kalla det $x$ . Me kan setja opp likninga som me har gjort før

\begin{array}{l} S_{n} & = x \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} {1,04}^{i}, \end{array}

eller

\begin{array}{l} 3 000 000 & = x \cdot \sum_{i = 0}^{29} {1,04}^{i} \\ = x \cdot \frac{{1,04}^{30} - 1}{1,04 - 1} . \\ = x \cdot \frac{{1,04}^{30} - 1}{0,04} . \end{array}

Lat oss snu likninga, og få $x$ på venstre side:

\begin{array}{l} x \cdot \frac{{1,04}^{30} - 1}{0,04} = 3 000 000 \end{array}

So flyttar me over, fyrst nemnaren i brøken:

\begin{array}{l} x \cdot ({1,04}^{30} - 1) = 3 000 000 \cdot 0,04 = 120 000 . \end{array}

Og so kan me dela på båe sidene:

\begin{array}{l} x = \frac{120 000}{{1,04}^{30} - 1} \approx 53 490,30 \end{array}

Han må altso spara 53 490,30 kr i året.

Øvingsoppgåve 5.16 Per og Kari drøymer om ei jordomseiling, og dei tenkjer å spara over fem år, for livets store tur. Dei legg eit budsjett på 200 000 kroner. Rentenivået er 3%. Kor mykje må dei spara per år for å ha råd til turen?

Finansmatematikk

Sparemål

5.4 Sparemål