Manadleg sparing i eitt ar | Matematikk fra Røynda

[next] [tail] [up]

6.1 Månadleg sparing i eitt år

I forrige kapittel studerte me annuitetar, der renteperiodane og annuitetsperiodane fall saman, t.d. årleg sparing med årleg forrenting. I røynda er det vanleg å spara månadleg, men få rentene årleg. Då vert problemet meir samansett, men me kan løysa det likevel.

\begin{align} \sum_{i = 0}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2} & (34) \end{align}

Rekneregel 6.1: Gauss’ formel

Eksempeloppgåve 6.1 Jenny sparer 1000 kroner i månaden. Ho får 3% årleg rente, og rentene vert lagde til på slutten av året. Pengar som berre har stått på konto ein del av året får rente berre for den tida dei har stått på konto. Ho set inn pengane på slutten av kvar månad frå januar til desember. Kor mykje har Jenny på konto etter renteutbetalinga 31. desember?

Løysing 6.1 Jenny set inn tolv tusenlappar, som for ulike rentepåslag. Den fyrste tusenlappen står 11 månader og får eit rentepåslag på

3 % \cdot \frac{11}{12} = 2,75 %

av beløpet. Det andre beløpet står ti månader og får

3 % \cdot \frac{10}{12} = 2,5 %

av beløpet. Slik held det fram slik at saldoen vert

\begin{align} \begin{aligned} S & = 1000 \cdot (1 + \frac{11 \cdot 3 %}{12}) + 1000 \cdot (1 + \frac{10 \cdot 3 %}{12}) + \dots + 1000 \cdot (1 + \frac{0 \cdot 3 %}{12}) \\ = \sum_{i = 0}^{11} 1000 \cdot (1 + \frac{i \cdot 3 %}{12}) \end{aligned} & (35) \end{align}

Dette liknar litt på dei geometriske rekkjene som me har sett, men der er ein skilnad, me kaller det ei aritmetisk rekkje. Det kjem me tilbake til sidan.

Lat oss dela opp summen, slik at me ser innskota og rentene kvar for seg:

\begin{align} \begin{aligned} S & = \sum_{i = 0}^{11} (1000 + 1000 \cdot \frac{i \cdot 3 %}{12}) \\ = \sum_{i = 0}^{11} 1000 + \sum_{i = 0}^{11} 1000 \cdot \frac{i \cdot 3 %}{12} . \end{aligned} & (36) \end{align}

Det fyrste ledded er simpelthen tolv innskot på 1000 kroner, til saman $12 000$ kroner. Det andre leddet er rentene. Lat oss sjå litt nærare på dei. Sidan ledda i summen er produkt der dei fleste ledda er eins, kan me trekkja utanfor summeteiknet, slik:

\begin{align} \begin{aligned} R & = \sum_{i = 0}^{11} 1000 \cdot \frac{i \cdot 3 %}{12}) \\ = \frac{1000 \cdot 3 %}{12} \cdot \sum_{i = 0}^{11} i \end{aligned} & (37) \end{align}

Faktoren foran summeteiknet er rentebeløpet som éin tusenlapp tener på éin månad. Summen talet på månader som tusenlappane har stått til saman. Her kan me bruka Gauss’ formel for rekneregel 6.1. Resultatet vert

\begin{align} \begin{aligned} R & = \frac{1000 \cdot 3 %}{12} \cdot \frac{11 \cdot 12}{2} \\ = \frac{1000 \cdot 3 % \cdot 11}{2} \\ = 165 . \end{aligned} & (38) \end{align}

Saldoen på slutten av året er då

\begin{align} S & = 12 000 + 165 = 12 165 . & (39) \end{align}

Merknad 6.1 I gamle dagar brukte ein 360 rentedagar i året, 30 rentedager i månaden, slik at ein ikkje fekk renter for den 31. i kvar månad, og doble eller tredoble renter siste dagen i februar. Dette var for å gjera jobben enkel for bokhaldarar som rekna for hand.

I dag får ein renter per kalenderdag. Datamaskiner har gjort at bankane klarer det. Prinsippet er det same; det er berre tala som vert styggare. For å læra prinsippet, reknar me for hand med 360 rentedagar i året. Løysinga over føreset 360 rentedagar i året.

Øvingsoppgåve 6.2 Anne Marie sparer 1200 kroner i månaden. Ho får 3,5% årleg rente, og rentene vert lagde til på slutten av året. Pengar som berre har stått på konto ein del av året får rente berre for den tida dei har stått på konto. Kor mykje har Anne Marie på konto etter renteutbetalinga 31. desember?