Kostnadsoptimum

Eksempeloppgåve 8.9 Ei bedrift har kostnadsfunksjonen

Finn kostnadsoptimum. Rekn ut gjennomsnittskostnaden og grensekostnaden i kostnadsoptimum.

Løysing 8.4 Me må starta med gjennomsnittskostnadsfunksjonen

Optimum finn me ved å derivera:

Når me løyser likninga $A^{\prime }\left(x\right)=0$, får me

Kostnadsoptimumet er altso $x=10\sqrt{2}\approx \text{14,1}$, og $A\left(\text{14,1}\right)\approx \text{3,8}$.

Me skisserer funksjonen for å dobbelsjekke at kostnadsoptimumet faktisk er et minimum.

Me treng òg grensekostnaden

Verdiane i kostnadsoptimum er

$$\begin{array}{lll}\hfill K^{\prime }\left(\text{14,1}\right)& =\text{3,8}& \hfill \text{(67) }\\ \hfill A\left(\text{14,1}\right)& =\text{3,8}& \hfill \text{(68) }\end{array}$$

Øvingsoppgåve 8.10 Ei bedrift har kostnadsfunksjonen

Finn kostnadsoptimum. Rekn ut gjennomsnittskostnaden og grensekostnaden i kostnadsoptimum.

Merknad 8.3 I desse oppgåvene var grense- og gjennomsnittskostnadene like i kostnadsoptimum. Når me ser slike «samantreff» lønar det seg å spørsja om det alltid er slik, og evt. kvifor det er slik.

Der finst eit algebraisk argument, men det konseptuelle argumentet er mest interessant.

Lat oss tenkja oss at prisen akkurat dekkjer gjennomsnittskostnaden i optimum og at prisen er konstant. Då går bedrifta akkurat i balanse. Dersom bedrifta endrar produksjonsvolumet frå optimum, so vil gjennomsnittskostnaden auka og bedrifta gå med underskot. Det vil seia at bedrifta ikkje berre står i kostnadsoptimum, men òg i profittoptimum.

I profittoptimum, må grensekostnaden vera lik prisen. Dersom grensekostnaden var høgare enn prisen, ville ein tena meir ved å redusera produksjone, og dersom grensekostnaden var lågare, vore der gevinst i auka produksjon. Difor er grensekostnaden lik prisen, som var lik gjennomsnittskostnaden.

Merknad 8.4 Nokon studentar og nokon bøker bruker regelen $A\left(x\right)=K^{\prime }\left(x\right)$ for å finna kostnadsoptimum. Det funkar, men ein treng ikkje hugsa denne regelen. Den generelle metoden for å finna optimum ved hjelp av derivasjon ($A^{\prime }\left(x\right)=0$) fungerer for alle funksjonar, ogso $A\left(x\right)$.

Øvingsoppgåve 8.11 Ei bedrift har kostnadsfunksjonen

Skisser funksjonen $A\left(x\right)$ for gjennomsnittskostnaden og finn kostnadsoptimum. Samanlikn med forrige oppgåve og drøft kor mykje bedrifta bør produsera.