To nullpunkt

Eksempeloppgåve 4.1 Me er bedne om å foreslå ein profittfunksjon for å modellera økonomien i ei viss bedrift. Me veit at profitten er null for produksjonsnivåa $x = 10$ og $x = 20$ , og me veit at profitten er positiv når $10 < x < 20$ . Kva er den enklaste moglege profittfunksjonen som tilfredstiller desse krava?

Løysing 4.1 Lat oss sjå på eit krav åt gongen. Den enklaste funksjonen som tilfredsstiller $f_{1} (10) = 0$ , er ei rett line som kryssar $x$ -aksen for $x = 10$ , altso $f_{1} (x) = x - 10$ . Tilsvarande for $x = 20$ finn me $f_{2} (x) = x - 20$ .

Dersom me tek produktet av to funksjonar, t.d.

f_{3} (x) = f_{1} (x) \cdot f_{2} (x),

so veit me at $f (x)$ er null når minst éin av faktorane er null. Dvs. at nullpunkta åt $f (x)$ er nullpunkta åt $f_{1} (x)$ og åt $f_{2} (x)$ . Funksjonen

f_{3} (x) = f_{1} (x) \cdot f_{2} (x) = (x - 10) \cdot (x - 20) = x^{2} - 30 x + 200,

har altso riktige nullpunkt.

Funksjonen me er på jakt etter skal vera positiv på midten, men $f_{3} (x)$ har eit botnpunkt mellom $x = 20$ og $x = 30$ . Dersom me snur $f_{3} (x)$ opp/ned, får me ein modell som passar. Me bruker

f (x) = - f_{3} (x) = - x^{2} + 30 x - 200 .

Merknad 4.1 Dersom algebraen i oppgåva over er tung å forstå, so løner det seg å skissera funksjonen $f_{3} (x)$ og bruka skissa som hjelp til å vurdera forteikn.

Det var meininga å bruka skisse i løysinga, men det var utegløymt. Orsak.

Øvingsoppgåve 4.2 Du skal modellera økonomien i ei viss bedrift. Du får vita at profitten er null for produksjonsnivåa $x = 100$ og $x = 700$ . Bedrifta tener penger når $100 < x < 700$ . Finn den enklaste moglege profittfunksjonen som tilfredstiller desse krava.

Øvingsoppgåve 4.3 Du skal modellera økonomien i ei viss bedrift. Du får vita at profitten er null for produksjonsnivåa $x = 50$ og $x = 150$ . Bedrifta taper penger når $x = 75$ . Finn den enklaste moglege profittfunksjonen som tilfredstiller desse krava.

Øvingsoppgåve 4.4 Du skal modellera økonomien i ei viss bedrift. Du får vita at profitten er null for produksjonsnivåa $x = 125$ og $x = 175$ . Bedrifta taper penger når $x = 75$ . Finn den enklaste moglege profittfunksjonen som tilfredstiller desse krava?

Modellering

4.1 To nullpunkt