Den andrederiverte

Eksempeloppgåve 7.9 Sjå på funksjonen $f\left(x\right)=x^3+3x^2$. Denne funksjonen har eit lokalt maksimum for $x=-2$ og lokalt minimum for $x=0$. Sjå på kurva på intervallet $-2<x<0$. Kvar er ho brattast?

Løysing 7.5 Lat oss plotta i full fart.

Kurva er openbert slak nær ekstremalpunkta. Det ser ut som om ho er brattast midt mellom topp- og botnpunktet, altso ved $x=-1$, men for å vera sikker på at svaret er nøyaktig er det best å bruka algebra.

Målet for bratte er stigningstalet åt tangenten, altso den deriverte:

Me veit allereie frå oppgåva og plottet at $f^{\prime }\left(-2\right)=f\left(0\right)=0$ og at $f^{\prime }\left(0\right)<0$ for $-2<x<0$, men kvar er $f^{\prime }\left(x\right)$ minst (mest negativ)?

For å finna minimumspunktet åt $f^{\prime }\left(x\right)$, deriverer me igjen

Me ser at $f^{″}\left(-1\right)=0$. Dette er altso minimumspunktet åt $f^{\prime }\left(x\right)$ og det brattaste punktet nedover på $f\left(x\right)$. Dette punktet vert òg kalla vendepunktet åt $f\left(x\right)$.

Merknad 7.2 (Vendepunkt) I figuren ser me korleis kurva krummar med hulsida ned til venstre for vendepunktet og hulsida opp til høgre for vendepunktet. Den andrederiverte byter forteikn i vendepunktet. Han er negativ til venstre, der $f^{\prime }\left(x\right)$ vert mindre og mindre og lagar hulside ned på $f\left(x\right)$. Han er positiv til høgre, der $f^{\prime }\left(x\right)$ vert større og lagar hulside opp på $f\left(x\right)$.

Øvingsoppgåve 7.10 Sjå på funksjonen $f\left(x\right)=x^3-3x^2+1$. Denne funksjonen har eit lokalt maksimum for $x=0$ og lokalt minimum for $x=2$. Sjå på kurva på intervallet $0<x<2$. Kvar er ho brattast?

Eksempeloppgåve 7.11 Drøft og skisser funksjonen $f\left(x\right)=x^3+6x^2+3x$. Marker vendepunktet med $x$- og $y$-verdi.

Løysing 7.6 Me finn den deriverte

Nullpunkta åt $f^{\prime }\left(x\right)$ finn me med formelen for andregradslikningar

Dette er ekstremalpunkta åt $f\left(x\right)$.

Me kan finna vendepunktet ved å setja den andrederivert lik null:

Me løyser likninga

Me kan finna funksjonsverdien i dei tre interessante punkta:

Då har me fylgjande plott.

Øvingsoppgåve 7.12 Drøft og skisser funksjonen $f\left(x\right)=x^3-6x^2+3x$. Marker vendepunktet med $x$- og $y$-verdi.