Funksjonsdrøfting
Tredjegradsfunksjonar
6.2 Tredjegradsfunksjonar
Løysing 6.3 Éin god start er å finna topp- og botnpunkt. Den deriverte er
Topp- og botnpunkta finn me ved å løysa
og formelen gjev
Dette gjev og . Vidare ser me at er stor (positiv) for store og små verdiar av . Dvs. at aukar fram til , fell vidare til , og til slutt stig igjen.
Det er òg lett å sjå at , so kurva må gå gjennom origo. Det ser slik ut.
Merk at me ikkje har funne dei to andre nullpunkta nøyaktig. Difor er det berre nullpunktet i origo som me har markert tydleg med ein prikk.
Øvingsoppgåve 6.8 Drøft og skissér funksjonen
Marker topp- og botnpunkta.
Øvingsoppgåve 6.9 Drøft og skissér funksjonen
Marker topp- og botnpunkta.
Eksempeloppgåve 6.10 Drøft og skissér funksjonen
Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.
Løysing 6.4 Me byggjer vidare på skissa frå oppgåve 6.10, der me fann topp- og botnpunkt. No treng me skjæringspunkt med aksane.
Skjæringspunktet med -aksen er enkelt å finna, som funksjonsverdien ved . Me skriv
Det er generelt vanskeleg å finna nullpunkta for ein tredjegradsfunksjon, men i dette tilfellet er det enkelt. Der er ikkje noko konstantledd, og dermed kan me dra utanfor ein parentes:
Når har med altso anten , eller
Andregradslikninga kan me løysa med formel, og me får eller . Totalt har me tre nullpunkt . Me utvider skissa frå oppgåve 6.10 med ny informasjon.
Øvingsoppgåve 6.11 Drøft og skissér funksjonen
Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.
Eksempeloppgåve 6.12 Drøft og skissér funksjonen
Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.
Løysing 6.5 Denne funksjonen har òg i alle ledda, slik at me kan faktorisera enkelt:
Me har altso eit nullpunkt i . Dersom me set parentesen lik null,
og løyser med formel, får me eit negativt tal under rotteiknet, so dette andregradsuttrykket har ikkje noko nullpunkt. Det einaste skjæringspunktet mellom og aksane er i origo.
Den deriverte er
Nullpunkta (for den deriverte) er gjeve ved formelen som
Tilsvarande -verdiar er
Me markerer topp- og botnpunkt, samt nullpunktet i origo og teiknar på frihand.
Øvingsoppgåve 6.13 Drøft og skissér funksjonen
Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.
Øvingsoppgåve 6.14 Drøft og skissér funksjonen
Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.
Eksempeloppgåve 6.15 Drøft og skissér funksjonen
Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.
Løysing 6.6 Dette er ein enkel funksjon. Det er lett å sjå at funksjonen er monotont stigande og går gjennom origo. Me får likevel meir informasjon ved å sjå på den deriverte
Den deriverte er 0 akkurat i origo. Kurva åt er altso fyrst bratt stigande, flatar ut inn mot origo, men tek so til å stiga igjen, brattare og brattare. Plottet ser slik ut:
Øvingsoppgåve 6.16 Drøft og skissér funksjonen
Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.
Øvingsoppgåve 6.17 Drøft og skissér funksjonen
Marker topp- og botnpunkta og skjæringspunkta med aksane.