Kostnadsoptimum | Matematikk fra Røynda

8.3 Kostnadsoptimum

\begin{align} f (x) & = \frac{1}{x} & (54) \\ f^{'} (x) & = - \frac{1}{x^{2}} & (55) \end{align}

Rekneregel 8.1: Den deriverte av

1 ∕ x

Eksempeloppgåve 8.5 Ei bedrift har kostnadsfunksjonen

K (x) = 0,07 x^{2} - x + 50 .

Finn gjennomsnittskostnaden $A (x)$ . Drøft og skisser $A (x)$ og finn kostnadsoptimumet.

Løysing 8.3 Gjennomsnittskostnaden er gjeven som

A (x) = \frac{K (x)}{x} = 0,07 x - 1 + \frac{50}{x}

Lat oss fyrst analysera dei variable og dei faste kostnadene kvar for seg, slik som me gjorde i oppgåve 8.1. Me skriv

\begin{align} A_{1} (x) & = 0,07 x - 1, & (56) \\ A_{2} (x) & = \frac{50}{x}, & (57) \\ A (x) & = A_{1} (x) + A_{2} (x) . & (58) \end{align}

Gjennomsnittet av dei faste kostnadene, $A_{2} (x)$ , er den same funksjonen som i oppgåve 8.1. Han er udefinert for $x = 0$ , og $A_{2} (x) \to \infty$ når $x \to 0^{+}$ . Når $x \to \infty$ , får me $A_{2} (x) \to 0^{+}$ .

Gjennomsnittet $A_{1} (x)$ av dei variable kostnadene er denne gongen lineært, men ikkje konstant. Me kan skissera $A_{1} (x)$ og $A_{2} (x)$ som fylgjer.

Dersom me legg saman $A_{1} (x)$ og $A_{2} (x)$ skulle me få u nokonlunde fylgjande plott.

Det ser ut som om me har eit botnpunkt, so lat oss studera det litt nærare ved hjelp av den deriverte. Då treng med rekneregel 8.1. Me kan derivera ledd for ledd, so me har

\begin{align} A (x) & = 0,07 x - 1 + 50 \cdot \frac{1}{x} & (59) \\ A^{'} (x) & = 0,07 + 50 \cdot (- \frac{1}{x^{2}}) = 0,07 - \frac{50}{x^{2}} & (60) \end{align}

Me må løysa likninga

\begin{align} 0 = 0,07 - \frac{50}{x^{2}} . & (61) \end{align}

Dette er ikkje ei vanleg andregradslikning, men me kan gonga gjennom med $x^{2}$ (føresett at $x \neq 0$ ):

\begin{align} 0 \cdot x^{2} & = 0,07 \cdot x^{2} - 50, & (62) \\ 50 & = 0,07 \cdot x^{2} & (63) \\ \frac{50}{0,07} & = x^{2} & (64) \\ x & = \pm \sqrt{\frac{50}{0,07}} \approx \pm 26,73 & (65) \end{align}

Den tilhøyrande $y$ -verdien er

\begin{align} A (26,73) & = 2,74 & (66) \end{align}

Ved hjelp av dette punktet, kan me skissera funksjonen litt meir nøyaktig.

Den lågaste gjennomsnittskostnaden finn me når me produserer $x = 26,73$ einingar.

Øvingsoppgåve 8.6 Ei bedrift har kostnadsfunksjonen

K (x) = 0,05 x^{2} + 2 x + 100 .

Finn gjennomsnittskostnaden $A (x)$ . Drøft og skisser $A (x)$ og finn kostnadsoptimumet.

Merknad 8.2 (Rasjonal funksjon) Funksjonar på formen

f (x) = \frac{p (x)}{q (x)}

der både $p (x)$ og $q (x)$ er polynom, vert kalla rasjonale funksjonar. Når kostnadsfunksjonen $K (x)$ er eit polynom, vert gjennomsnittskostnaden $A (x) = K (x) ∕ x$ ein rasjonal funksjon, sidan $x$ er eit polynom.

Øvingsoppgåve 8.7 Drøft og skisser funksjonen

A (x) = - x + 2 + \frac{1}{x} .

Finn maksimums- og minimumspunkta, og forklar kva som skjer når $x \to 0$ og når $x \to \pm \infty$ .

Øvingsoppgåve 8.8 Drøft og skisser funksjonen

A (x) = - x + 2 - \frac{1}{x} .

Finn maksimums- og minimumspunkta, og forklar kva som skjer når $x \to 0$ og når $x \to \pm \infty$ .