Fleire døme i Funksjonsdrøfting$†$

Eksempeloppgåve 17.3 (Eksamen hausten 2017, oppg. 3) Drøft og skissér funksjonen

Svar på fylgjande spørsmål, og markér svaret både i skissa og i teksta.

1.

Finn ekstremalpunkta (maksimum og minimum) åt funksjonen. Bestem $x$- og $y$-verdiane til ekstremalpunkta.

2.

Finn nullpunkta åt funksjonen.

3.

For kva $x$-verdiar er funksjonen stigande?

4.

For kva $x$-verdiar er funksjonen positiv? Dvs. $f\left(x\right)>0$.

5.

Finn vendepunktet til $f\left(x\right)$. Vis både $x$- og $y$-verdien.

6.

Kva skjer med funksjonsverdien $f\left(x\right)$ når $x\to \infty$?

Merknad 17.4 Det vesentlege i denne oppgåva er å sy saman alle delsvara til ein heilskap, slik at skissa vert konsistent. Studentane skal visa heilskapsforståing. Ein god tommelfingerregel er å leggja lik vekt på den algebraiske løysinga og på skissa.

Merknad 17.5 Det er smak og behag kva rekkjefylgje ein løyser deloppgåvene i. Her startar me med ekstremalpunkta.

Løysing 17.3 Del 1. Lat oss derivera

I eventuelle ekstremalpunkt har me $f^{\prime }\left(x\right)=0$, altso

Med to ekstremalpunkt i ein tredjegradsfunksjon, må det eine vera toppunkt og det andre botnpunkt. Me finn $y$-verdiane ved innsetjing

Del 2. For å få skissa presis kan me godt finna nullpunkta med ein gong. Då faktoriserer me funksjonen som fylgjer:

Her får me altso nullpunkt for $x=0$ og for $-x^2+2x-1=0$. Den siste likninga kan med løysa med formel, og då finn me eitt nullpunkt, for $x=1$. Me har altso to nullpunkt $x=0$ og $x=1$. Det siste fell saman med eit ekstremalpunkt. Når me teiknar null- og ekstremalpunkta fylgjer formen på kurva, og me skisserer som fylgjer:

Vendepunktet er rekna ut under.

Del 3. Me ser av skissa at funksjonen er stigande når $1∕3<x<1$. Sidan me veit at ein tredjegradsfunksjon berre har eitt topp- og eitt botnpunkt, må dette vera det einaste området der funksjonen er stigande.

Del 4. Me ser av skissa at funksjonen er positiv for $x<0$. Sidan me kjenner formen på tredjegradsfunksjonen, med eitt topp- og botnpunkt, veit me at han er positiv i heile området til venstre for 0.

Del 5. Vendepunktet er bestemt av $f^{″}\left(x\right)=0$. Dette gjev

eller $x=2∕3$.

Dette markerer me i skissa.

Del 6. For store verdiar av $x$ er tredjegradsleddet dominerande, pga. forteiknet vert dette negativt. Dermed har med $f\left(x\right)\to -\infty$ når $x\to \infty$, og skissa stadfestar det.

Merknad 17.6 Skissa som er kravd i oppgåva legg godt til rette for å dobbelsjekka alle svar. Ein skal ikkje krevja at studentane viser at dei dobbeltsjekkar svara sine, men dei bør gjera det. Fordi oppgåva legg so godt til rette for å dobbelsjekka svara, skal ein straffa slurvefeil strengt i denne oppgåva, med mindre inkonsistensen er kommentert.

Merknad 17.7 Dersom me er i tvil, kan me stadfesta løysingane ved å forteiknsdrøfta. I del 3 vil ein i so fall forteiknsdrøfta $f^{\prime }\left(x\right)$, og i del 4 $f\left(x\right)$.

Merknad 17.8 I del 3, 4 og 6 kan ein bruka skissa som argument, men for å få full uttelling skal ein ha eit argument for at der ikkje kan skje noko uventa utanfor skissa. Dette kan ein gjera ved å visa til den velkjente formen som tredjegradskurva har, utan å verta særleg formell. (Jfr. løysingsforslaget for Del 3–4.)