Øvingsoppgåver

Introduksjon til grenseverdiar

Hans Georg Schaathun

Mai 2016

Oppgåve 1.

Funksjonen \(g(x)\) er plotta i figuren. Studer figuren og finn fylgjande grenser, eller forklar kvifor grensa ikkje eksisterer:

$$ \begin{align} \textrm{a)} & \lim_{x\to0} g(x) \\ \textrm{b)} & \lim_{x\to1} g(x) \\ \textrm{c)} & \lim_{x\to2} g(x) \\ \textrm{d)} & \lim_{x\to3} g(x) \end{align} $$

Oppgåve 2.

Funksjonen \(g(x)\) er den same som i forrige oppgåve. Finn dei fylgjande einsidige grensene, eller forklar kvifor grensa ikkje eksisterer:

$$ \begin{align} \textrm{a)} & \lim_{x\to0^-} g(x) \quad \lim_{x\to0^+} g(x) \\ \textrm{b)} & \lim_{x\to1^-} g(x) \quad \lim_{x\to1^+} g(x) \\ \textrm{c)} & \lim_{x\to2^-} g(x) \quad \lim_{x\to2^+} g(x) \\ \textrm{d)} & \lim_{x\to3^-} g(x) \quad \lim_{x\to3^+} g(x) \end{align} $$

Oppgåve 3.

Finn fylgjande grenser eller forklar kvifor grensa ikkje eksisterer:

$$ \begin{align} \textrm{a)} & \lim_{x\to 2} \frac{x+4}{x+2} \\ \textrm{b)} & \lim_{x\to -2} \frac{x+4}{x+2} \end{align} $$

Oppgåve 4.

Finn fylgjande grenser eller forklar kvifor grensa ikkje eksisterer:

$$ \begin{align} \textrm{a)} & \lim_{x\to 2} \frac{x^2-4x+4}{x^2-4} \\ \textrm{b)} & \lim_{x\to -2} \frac{x^2-4x+4}{x^2-4} \end{align} $$

Oppgåve 5.

Finn fylgjande grenser eller forklar kvifor grensa ikkje eksisterer:

$$ \begin{align} \textrm{a)} & \lim_{x\to 2^-} \sqrt{2-x} \\ \textrm{b)} & \lim_{x\to 2^+} \sqrt{2-x} \end{align} $$

Oppgåve 6.

Finn fylgjande grenser eller forklar kvifor grensa ikkje eksisterer:

$$ \begin{align} \textrm{a)} & \lim_{x\to a^-} \frac{|x-a|}{x^2-a^2} \\ \textrm{b)} & \lim_{x\to a^+} \frac{|x-a|}{x^2-a^2} \end{align} $$

Oppgåve 7.

Lat

$$ \begin{align} f(x) = \begin{cases} x-1 & \text{ dersom } x \le -1, \\ x^2+1 & \text{ dersom } -1 \lt x \le 0, \\ (x+\pi)^2 & \text{ dersom } x \gt 0. \end{cases} \end{align} $$

Finn fylgjande grenser eller forklar kvifor grensa ikkje eksisterer:

$$ \begin{align} \textrm{a)} & \lim_{x\to-1^-} f(x) \\ \textrm{b)} & \lim_{x\to-1^+} f(x) \\ \textrm{c)} & \lim_{x\to0^-} f(x) \\ \textrm{d)} & \lim_{x\to0^+} f(x) \end{align} $$