Hans Georg Schaathun
August 2016
Ta ein sirkel med radius \(r\) og ein trapes innskriven i sirkelen (dvs. at alle fire hjørna ligg på sirkelen), slik at grunnlinjen i trapesen er diameteren på sirkelen. Kva høgd skal trapesen ha for at arealet skal vera størst mogleg?
Oppgåva var eit døme i Tom Lindstrøms føredrag på The 18th SEFI Mathematics Working Group Seminar i Gøteborg 2016.
$$A = \frac{(|AB|+|CD|)\cdot x}2$$
\(|AB| = 2r\)\(|CD| = 2y\)
$$y^2 + x^2 = r^2$$
$$y = \sqrt{r^2-x^2}$$
$$A = \big(r+\sqrt{r^2-x^2}\big)\cdot x$$
$$ A = x(1+\sqrt{1-x^2})$$
$$ A = x(1+\sqrt{1-x^2})$$
$$ \frac{dA}{dx} = (1+\sqrt{1-x^2}) + x\frac{d}{dx}(1+\sqrt{1-x^2})$$
$$ \frac{dA}{dx} = (1+\sqrt{1-x^2}) + x\frac{d}{d(1-x^2)}\sqrt{1-x^2}\frac{d}{dx}(1-x^2)$$
$$ \frac{dA}{dx} = (1+\sqrt{1-x^2}) + \frac{x}{2\sqrt{1-x^2}}(-2x)$$
$$ \frac{dA}{dx} = 1+\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$ \frac{dA}{dx} = 1+\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$ \frac{dA}{dx} = 1+\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}} = 0$$
$${\sqrt{1-x^2}} + {1-2x^2}= 0$$
$$\sqrt{1-x^2} = - (1-2x^2)$$
$$1-x^2 = (1-2x^2)^2$$
$$1-x^2 = 1-4x^2 + x^4$$
$$0 = -3x^2 + x^4$$
$$\frac34 = x^2 $$
$$x = \sqrt{\frac34} = 0{,}866$$
Ta ein sirkel med radius \(r\) og ein trapes innskriven i sirkelen (dvs. at alle fire hjørna ligg på sirkelen), slik at grunnlinjen i trapesen er diameteren på sirkelen. Kva høgd skal trapesen ha for at arealet skal vera størst mogleg?
Ta ein sirkel med radius \(r\) og ein trapes innskriven i sirkelen (dvs. at alle fire hjørna ligg på sirkelen), slik at grunnlinjen i trapesen er diameteren på sirkelen. Kva høgd skal trapesen ha for at arealet skal vera størst mogleg?
Ta ein sirkel med radius \(r\) og ein trapes innskriven i sirkelen (dvs. at alle fire hjørna ligg på sirkelen), slik at grunnlinjen i trapesen er diameteren på sirkelen. Kva høgd skal trapesen ha for at arealet skal vera størst mogleg?
$$ \begin{align} A &= \frac{(|AB|+|CD|)\cdot x}2 \end{align} $$
$$ \begin{align} A &= \big(r+y\big)\cdot x \end{align} $$
$$ \begin{align} A &= \big(r+\sqrt{r^2-x^2}\big)\cdot x \end{align} $$
$$ \frac{dA}{dx} = r + \frac{r^2-2x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} = 0 $$
$$ x = \frac{\sqrt3r}2 $$