Hans Georg Schaathun
September 2016
Sukker vert oppløyst i vatn med ein rate proporsjonal med attverande mengd med uløyst sukker. Tenk deg at du har 50 kg uløyst sukker i vatn opprinneleg. Etter 5 timar er der 20 kg att.
Kor mykje lenger tid vil det ta før 90% av sukkeret er oppløyst?
$$y(t)$$
$$y(0) = 50$$
$$y'(t) = k\cdot y$$
$$y(5) = 20$$
$$y(0) = 50$$
$$y'(t) = k\cdot y$$
$$y(5) = 20$$
$$y(t) = C\cdot e^{kt}$$
$$y(0) = C\cdot e^{k0} = C = 50$$
$$y(t) = 50\cdot e^{kt}$$
$$y(5) = 50\cdot e^{k5} = 20$$
$$e^{k5} = \frac25$$
$$k\cdot5\cdot\ln e = \ln\frac25$$
$$k= \frac{\ln\frac25}{5} \approx - 0.183$$
Sukker vert oppløyst i vatn med ein rate proporsjonal med attverande mengd med uløyst sukker. Tenk deg at du har 50 kg uløyst sukker i vatn opprinneleg. Etter 5 timar er der 20 kg att.
Kor mykje lenger tid vil det ta før 90% av sukkeret er oppløyst?
$$y(t) = 50\cdot e^{kt}$$
$$k= \frac{\ln\frac25}{5} \approx - 0{,}183$$
$$y(5+x) = (1-0.9)\cdot 50 = 5$$
$$50\cdot e^{k(5+x)} = 5$$
$$e^{k(5+x)} = 0{,}1$$
$$k(5+x) = \ln 0{,}1$$
$$x = \frac{\ln 0{,}1}k - 5$$
$$x \approx 7{,}56$$